— 683 — 



Las ecuaciones para el cambio de variables serán, pues, 



x = x, 

 y^F{x,u), 



puesto que la x no varía. 



El cambio de y por a es ya un problema elemental; es de- 

 cir, es el cambio de una sola variable. 



No hay más que sustituir y, dy por sus valores deduci- 

 dos de las ecuaciones precedentes : así 



c/ \ ^ dF(x,u) , 

 y =z F{x, u); dy = — ^^ ^ du 



du 

 y por lo tanto hallaremos. 



fí 



dF 

 f{x,F)—-dxdu. 



ci du 



Para evitar confusiones respecto á los límites de la inte- 

 gral, conviene fijarse, por lo que luego veremos, en el signo 



dF I 



de , que es evidentemente una función de x, u, que de- 



du 



signaremos por cp (x, ú), de modo que 

 dF 



du 



= r {X, «). 



Considerando á esta función como la ordenada h de una 

 superficie 



/z = cp (x, u), 



es claro que f {x, u) = o representará la intersección de di- 

 cha superficie con el plano de las x, u, y esta curva dividirá 

 á dicho plano de las x, m en varias porciones: para unas, to- 

 dos los puntos interiores, y todos los sistemas de valores 



