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 Hallaremos, por lo tanto, 



nu, nv, d{x,y) , d{x,u) 



1= \ f{x,y) mod. - ; '^[ • mod. -^^ 



J«i Jvi d{x,u) d{u,v) 



y como hemos demostrado que 



d (x, y) d{x,u) ^ d{x,y) 

 d {x, u)' d{u,v) d (u, v) 



hallaremos, por último, poniendo en vez de los límites el 

 contorno de la integración, que la fórmula del cambio de va- 

 riables en una integral doble será la siguiente: 



/= 



CCf{x,y)dxdy= Cr f(x, y) mod. í^dudv. 

 J Je J Je d{u,v) 



Su apUcación se completa con las siguientes explica- 

 ciones. 



Cuando se sustituya á los contornos de la integración los 

 valores extremos de 3; y de x, por una parte, y de « y v por 

 otra, habrá que ir siempre en el mismo orden creciente ó de- 

 creciente, según hemos explicado, sin pensar en los cambios 

 de signo. 



En la segunda integral hay que poner en vez de x, y sus 

 valores en función de ü y v: si las ecuaciones del cambio de 



variables son 



X = (5 {u, v), y = '\ {u, v), 



claro es que/(jc, y) se convertirá en 



y en la jacobiana no hay que preocuparse del orden de las 

 variables, porque 



d{x,y) d{x,y) 



d{u,v)' d{v,u)' 



