- 695 — 



sólo difiere en el signo, y como hay que tomar el módulo, 

 todas resultan positivas é iguales. 



Por último, como en estas jacobianas entran también x é 

 y, habrá que sustituir sus valores en función de u, v, para 

 que no queden bajo la integral más que las nuevas variables, 

 que son estas últimas. 



* * 



Dicha regla de cambio de variables es general, y la demos- 

 tración es siempre la misma que hemos dado para el caso 

 de dos variables. 



Si las variables primitivas eran x, y, z, y las nuevas son 

 u, V, w, se cambian variable por variable, pasando, por 

 ejemplo, del sistema x, y, z al x, y, w; después del x, y, w 

 al x, V, w, y, por fin, del x, v, w al u, v, w. 



En cada cambio entrará la jacobiana correspondiente; pero 

 por la regla del producto de jacobianas 



d(x,y,z) d(x,y,w) d{x,v, w) _ d{x,y,z) 



m 



d{x,y,w) d(x,v,w) d{u,v,w) d(u,v,w) 

 y vendremos á la fórmula final 



f{x,y,z)dxdydz= j j I f{x,v,z)moá. ^ '^' ^ dudvdw 

 J J Je d{u, V, w) 



debiendo en el segundo miembro sustituir, en vez de x, y, z, 

 sus valores en función de w, y, w. 



Esta es la fórmula general que aplicaremos. 



Claro es, que si en cualquiera aplicación de esta fórmula, 

 para un cambio de variables, en un oiden bien definido (por 

 ejemplo, á x, y, 2: se sustituyen u, v, w, midiéndose x, u en 

 el mismo eje; en otro eje rectangular del primero y, v; y en 



