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Admitido lo dicho, podemos demostrar con todo rigor, 

 que si en el estado inicial del fluido, estado que hemos re- 

 presentado por ^4, una serie de moléculas fluidas forman una 

 curva cerrada C, en el movimiento del fluido esta curva será 

 siempre cerrada; por ejemplo, para el instante t, será C ce- 

 rrada también, y claro es que podrá considerarse como la 

 transformación de C. 



En resumen, toda curva cerrada podemos decir que con- 

 tinúa eternamente cerrada. 



Dadas las hipótesis la demostración es inmediata. 



Tomaremos la que presentan casi todos los autores, por 

 ejemplo, Mr. Appell y Mr. Poincaré. 



Si en el estado inicial, y es claro que cualquier momento 

 puede ser tal, consideramos una línea cerrada C, analítica- 

 mente esta línea estará defínida por dos funciones de las 

 coordenadas a, b, c. 



Pero también sabemos por geometría analítica que pue- 

 de expresarse de otro modo, á saber: determinando las tres 

 coordenadas a, b, c por tres funciones de una variable con- 

 tinua é independiente a, en esta forma: 



A cada valor de a corresponderá en nuestra hipótesis un 

 sistema único de valores a, b, c, y un punto determinado 

 p de la curva. 



Suponemos, según lo dicho, que las funciones /i, /a, /s, 

 son continuas y uniformes; y por eso á cada valor de a sólo 

 corresponde un punto de la curva, aunque, por lo que aho- 

 ra explicaremos, no afirmamos por el pronto la recíproca. 



Dando á a diferentes valores, tendremos diferentes siste- 

 mas a, b, c, y cada uno nos determinará un punto p de la 

 curva C. 



Las tres funciones /i, /2, /s serán periódicas respecto á a, 

 puesto que C es cerrada. Así, cuando a, después de haber 



