^t Ja L 5« 



9a 



(O + — («2 -f v2 + n;2) 



, '^ 2 ' _^ 



= I d da. 





9a 



Esta última integral con relación á a, dará evidentemente 





= |Q+-^(«^ + v' + woT 



Pero Q, «, V, w, son funciones de jc,y, z en la curva C, y 

 estas coordenadas al cerrarse el ciclo, según antes dijimos, 

 tienen el mismo valor para a que para P; de modo que 



[ 



Q-h -i-(«-^ + v^ + iv^) 



y por lo tanto, 



1 



O + -^ (m2-|-v2-+-m;2)| = 



)J=o 



11 



= o. 



Es decir, que la integral I, ó sea la circulación, es indepen- 

 aiente del tiempo. 



El mismo valor tendrá I para la curva C, que para la cur- 

 va C, que para todas las curvas correspondientes á todos 

 los valores de /. 



Queda, pues, demostrado el teorema de Helmholtz. 



* 

 * * 



Para alejar toda duda de mis alumnos, todavía haremos 

 una observación, tan elemental, tan sencilla, que casi es inú- 

 til; pero la experiencia me ha demostrado que nada es inútil 

 en materia de dudas, porque á veces las más injustificadas 

 se hacen formidables para un principiante. 



