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Y aclaremos el punto en cuestión. 

 Hemos dicho que las coordenadas x,y,zdQ un punto de 

 la curva C eran 



y hemos admitido implícitamente que para otra posición 

 cualquiera de la curva en cuestión, por ejemplo, para C, las 

 tres funciones /i, /a, /a, habían de ser exactamente las mis- 

 mas en su forma analítica; lo único que variará de una curva 

 á otra será el valor de t. Para la forma y posición inicial ha- 

 brá que poner t = o; para la posición C deberemos substi- 

 tuir t = t; para la posición C , t=f, y así sucesivamente. 



Pero si la forma de fi, />, /g, cambiase de una curva á 

 otra la demostración no sería rigurosa. 



Pues bien, la constancia en la forma analítica de/1,/2,/3 

 para todas las curvas C es evidente. 



Porque dichas tres ecuaciones se deducen de las integra- 

 les generales de Lagrange, que, como hemos visto, tienen la 

 forma general. 



X = Fi {a. b, c, t), y = F,^ (a, b, c, t), z = F^ {a, b, c, t). 



Para un punto cuyas coordenadas iniciales sean a, b, c, ha- 

 brá que poner estos valores en las ecuaciones anteriores, y si 

 el punto cuyas coordenadas son a, b, c recorre una curva 

 inicial Co, sus valores en función de la variable indepen- 

 diente a serán 



« = ?i («). b = cpo (a), C = cp3 (a) 



y substituyendo estos valores en los de x,y,z tendremos 

 para ecuación de la curva C 



^ = ^1 (?1 (a), ?2 i^l ?o («), O 

 y = Fo ('fi (a), cpo (a), c|>3 (a), t) 

 Z = F., (cpi (a), cp, (a), 93 (a), /). 



Pero para todas las curvas C, C... la forma analítica de 

 Fy, F2, F-¿ será la misma porque corresponden á las integra- 

 les generales que son únicas en cuanto á la forma para to- 



