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Si en todo el fluido ó en una región del fluido, en el ori- 

 gen del movimiento^ las velocidades tienen una potencial, es 

 decir, si pueden obtenerse las componentes u, v, w diferen- 

 ciando con relación diX,y, z una determinada función de es- 

 tas variables que llamaremos cp, de modo que 



9cp 9cp 9(0 



U = —^, V = — i-, w = —^ 



9x dy dz 



esta propiedad se verificará para dicha masa ó región en otro 

 instante cualquiera del movimiento. 



O con más brevedad: si las velocidades tienen una poten- 

 cial en el instante inicial, tendrán una potencial en cualquier 

 instante. 



Y como podemos considerar, que cualquier instante es el 

 inicial, aún podremos decir, en términos más generales, que 

 si las velocidades tienen una potencial en un instante deter- 

 minado, tendrán también una potencial en otro instante cual- 

 quiera. 



La demostración es una consecuencia inmediata del teore- 

 ma de Helmholtz. 



En efecto, la integral /por el teorema de Helmholtz ha de 

 conservar un valor constante para cualquier línea cerrada; 

 pues tomemos una línea cerrada en la región que goza de la 

 propiedad que se indica, y substituyendo en vez de u, v, w 

 las derivadas de la función potencial ^ (x, y^ z, t) en 



X' 



(m9x + vdy -f wdz) 

 tendremos 





+ -^9Z 



dz 



Pero la cantidad entre paréntesis para el instante que se 

 considera, es una diferencial exacta de x, y, z. 



