10 Noether: Zur Grundlegung 



sind. Sobald die Schaar g''^ gegeben ist, bestimmen q Punkte 

 eine Gruppe der Schaar, also die übrigen Q — q=2) — r — l 

 Punkte der Gruppe eindeutig. 



Dieser Satz sagt also aus: dafs für (^ > die Q Punkte 

 einer solchen Gruppe ö^'^ nicht mehr willkürlich sind; dafs es 

 vielmehr, da durch G^'' genau co"" Curven ^,„_3 gehen, für die 

 Q Punkte von ö^^ nur ]J — 1 — r = Q — q Bedingungen aus- 

 macht, wenn eine Curve </'„,_3 durch G[f gehen soll. Von den 

 Q Punkten einer solchen Gruppe G^^^ haben daher, wenn die 

 Schaar ^^q'^ nicht gegeben ist, auf /^ höchstens Q — q der- 

 selben eine willkürliche Lage, während die übrigen q dadurch 

 bestimmt sind, aber im Allgemeinen mehrdeutig. 

 Die Umkehrung dieses letzteren Schlusses spricht sich so aus: 

 III'. Hat man auf der irreduciblen Curve /^^ eine lineare oo'-Schaar 

 (g > O) von Gruppen von je Q Punkten, und sind in einer 

 dieser Gruppen mehr als Q — q Punkte willkürlich, so kann 

 die Bedingung p ^ Q — q -+- l des Satzes III nicht erfüllt sein, 

 und man hat nothwendig 



p<C Q — q-hl. 

 Die Existenz der Schaar g'^^ in III. ist oft schon unmöglich, auch 

 wenn nur Q — q oder weniger Punkte einer Gruppe willkürlich sind, 

 wenn man Specialfälle, wie den, dafs einige der Q Punkte für alle Grup- 

 pen dieselben sind, ausschliefst. Da indefs die Specialgruppensysteme 

 auf den Curven /| noch nicht allgemein untersucht sind, führen wir nur 

 den folgenden Satz an: 



III". Schliefst man den hyperelliptischen Fall von /| — d. h. den 

 Fall, wo alle zu /^ adjungirten </i^_3, welche durch irgend einen 

 Punkt von /^^ gelegt werden, noch durch einen weiteren durch 

 den ersteren bestimmten Punkt gehen — aus, und hat man auf 

 der ii'reduciblen /f, eine Schaar ^^'^ (^ >=• O), bei der eine Gruppe 

 Q — q willkürlich zu wählende Punkte hat, so mufs sein^): 

 P^ Q — q-+-l- 



1) Man kann den Satz so beweisen: Nach der Annahme sind innerhalb der 

 Schaaren ^^«^ (Q — q — l)-fach unendlich viele Schaaren (jrW enthalten; und diesen ent- 



