12 Noether: Zur Grundlegung 



VI. Restsatz bei Raumciirven. Wenn eine Raumcurve R als 

 Schnitt zweier Flächen J' und * gegeben ist, und R' ist bei die- 

 sem Schnitt der Rest von R, so sind die zu R adjungirten 

 Flächen diejenigen Flächen, welche R' enthalten. Dieselben 

 schneiden auf R die allgenieinsten linearen Schaaren von 

 Punktgruppen aus, welche zu einer gegebenen Gruppe corresi- 

 dual sind; also bei rationaler Transformation von R in eine 

 ebene Curve / entsprechend den Gesammtschaaren von Punkt- 

 gruppen auf /, welche von zu / adjungirten Curven ausgeschnit- 

 ten werden können. Ändert man F, * und R\ läfst aber R 

 unverändert, so erhält man auf R auf diese Weise doch nur die- 

 selben Schaaren von Punktgruppen ^). 

 VII. Specialgruppensatz bei Raumcurven: Haben F, ^, R, R' 

 die Bedeutung wie in Satz VI und sind F, $ bez. von den Ord- 

 nungen M, 1', so werden bei Irreducibilität von i? die auf i? lie- 

 genden Specialschaaren — d. h. solche, welche bei eindeuti- 

 ger Transformation von R in eine ebene Curve / den auf / lie- 

 genden Schaaren von Specialgruppen entsprechen — von den 

 Flächen der Ordnung jw + v — 4, welche durch R' gelegt wer- 

 den, ausgeschnitten 2). Die Sätze über die Punktgruppen auf 

 einer ebenen Curve, III, III', III", IV, übertragen sich ebenso 

 auf die Raumcurve, insbesondere auf die zu R adjungirten Flächen 

 </'^+„_4; dieselben schneiden also R in oo^~^ Gruppen von je 

 2 p — 2 Punkten , wo das Geschlecht p von R gleich dem Ge- 



1) An der citirten Stelle (N) ist der Beweis dieses Satzes für eine bestimmte 

 Ordnung der durch B' zu legenden Flächen ausgesprochen; man sieht aber unmittelbar, 

 dafs der Beweis unverändert für jede Ordnung gilt. 



-) Wenn F und # noch vielfache Curven besitzen, etwa F eine Curve C zur 

 i-fachen, $ dieselbe zur j'-facben Curve hat, und sich aufserdem in B, R' schneiden, 

 so sollen nach der citirten Abhandlung (N) die zu B adjungirten Flächen solche sein, 

 welche durch B' gehen und die vielfache Curve zur (i-i-j — l)-fachen Curve haben. 

 Indessen zeigen die Beweise der citirten Arbeit, dafs dieser Ausdruck nicht genau ist; 

 dafs es vielmehr genügt, wenn die adjungirten Flächen nur F so schneiden, als wenn sie 

 C zur (i-hj — l)-fachen Curve hätten. Wenn also z. B. C eine einfache Curve von F, 

 Doppelcurve von i ist, genügt es, dafs die zu B adjungirten Flächen die Fläche F längs 

 C berühren. 



