der Theorie der algebraischen Raurncurven. 15 



A(^.,4,^3)-0; oder /„, (ö = , ... (1) 

 und für die Coordinaten der Punkte der Ciu-ve R'^^ selbst ergeben sich 

 Beziehungen der Art: 



^^::c,::v,:x, = ^^:^,:^,::^^, ... (2) 



wo 4^^^^), Vn-iC^;) rationale ganze homogene Functionen von ^j, ^,, ^3, 

 bez. von den Ordnungen n, n — 1, vorstellen. Diese eindeutige Trans- 

 formation zwischen der Raumcurve i?^, und der ebenen Projectionscurve 

 /f; sagt auch aus, dafs sich i?^, als Schnitt der beiden Flächen 



,/:g^-)-*', ■^^■^„-i 0^0-^« 0^0=0, . . . (3) 



vi^o /' , •li' ,, \t hier die obigen Functionen in x,, x^, x, sind, darstellen 

 läfst. Die erste Fläche in (3) stellt den Kegel dar, der seine Spitze in 

 hat und über i?j|^ steht; die zweite Fläche eine Fläche /i'" Ordnung, 

 welche zum {ji — 1)- fachen Punkte hat und Ä^^ enthält. — Eine solche 

 Fläche ?i'" Ordnung, welche einen (11 — ■l)-fachen Punkt besitzt, sei mit 

 Cayley, (C), eine Monoidfläche oder ein Monoid genannt. Wir betrach- 

 ten hier nur solche Monoide, deren vielfacher Punkt in und nicht spe- 

 ciell gegen die Raumcui've jRf^ gelegen ist, und bezeichnen die Fläche mit 

 J/^, wenn dieselbe von der Ordnung n ist. 



In unserem Falle hat /,^, da nicht speciell gegen i?,^ liegt und 

 da die 3 -fachen Sehnen einer Raumcurve immer nur eine Fläche bilden, 

 nur Doppelpunkte, keine höheren vielfachen Punkte, und zwar /* Doppel- 

 punkte. — Dem Schnitt der Curve i?^| mit allen Ebenen 



a^x^-^a,,x, + a^x^-\-ct^x^ = L^ (4) 



des Raumes entspricht in e der bewegliche Schnitt der Curve /^ mit der 

 Curvenschaar 



bestehend aus 00' Gruppen von je m Punkten. Die Curvenschaar (5) 

 mufs also /^ aufserdem in m{ji — l) festen, allen Cui'ven der Schaar ge- 

 meinsamen, Schnittpunkten treffen. Zunächst müssen nun ■4'„_i(0 und 

 "^»(Ö f^urch alle /* Doppelpunkte von /f^ gehen, weil für jeden dieser 

 Punkte die Verhältnisse der vier Gröfsen x,^ zwei verschiedene Werth- 

 systeme annehmen, also die Ausdrücke in (2) unbestimmt werden müs- 

 sen; dies stellt lh feste Schnittpunkte der Schaar mit /^ vor. Für die 



