18 Noether: Zur Grundlegung 



Die Frage nach der Constantenzahl der Gesammtheit der 

 Raumcurven i?f,,, bei gegebenem m und p, ist auf diesem Wege bereits 

 erledigt worden, wenn p eine gewisse von m abhängige Grenze nicht 

 übersteigt (B, N pag. 307). Wir theilen kurz diese Betrachtung mit, um 

 die eigenthche Schwierigkeit der Frage hervortreten zu lassen und eine 

 Bemerkung anzuknüpfen. 



Für m >=- ^J + 2 gehört eine auf einer irreduciblen /^ gelegene 

 Gruppe G^,„, deren Punkte ganz willkürlich gewählt sein sollen, immer 

 (§ 1, II.) einer linearen oo^'^'-Schaar an und solcher Schaaren giebt 

 es auf /^ immer oo^; da nun in jeder linearen cx)'-Schaar oo*^'~^^ 

 hneare oo^- Schaaren enthalten sind, giebt es dann auf /^ 00*^"'"^"^'+^ 

 = 00* ""^^^"^^^ lineare 00^-Schaaren. 



Für m ^ p H- 2 ist eine lineare oo'-Schaar von Gruppen G^,^ eine 

 Specialschaar (§ 1, II). Auf einer Gurve p liegen, so lange deren Mo- 

 duln nicht speciellen Bedingungen genügen, ebenfalls oo*"'"^^^^*^ lineare 

 Schaaren g^^; wobei also nur die Bedingung 4 m > 3 (jj + 4) herrscht. 

 Die Aufsuchung einer solchen Schaar auf der gegebenen /^ erfordert hier 

 die Auflösung eines Systems höherer Gleichungen (B, N §§ 9, 12). 



Führt man nun durch lineare Transformation noch 15 weitere Con- 

 stanten ein, so erhält man, unter Benutzung der 00^ -Schaar zur Trans- 

 foi-mation mittelst (3), die Gesammtheit aller Raumcurven i2f„, welche 

 aus einer Curve /-'', mit gegebenen Moduln, ableitbar sind. Da aber die 

 Klasse für jj >■ 1 von 2,p — 3 Moduln abhängt, so folgt: 



dafs für m^|-(p-t-4) die Constantenzahl der Gesammt- 

 heit der Rl^ 



im — 3(p + 4) H- 15 H- (3jJ — 3) = im 

 beträgt. 



Dasselbe ergiebt sich auch für |) = 0,1, indem man beachtet, 

 dafs zwar dann die Modulzahl um 3, bez. 1, gröfser wird als 3^; — 3, 

 dafs aber die Curve R"^ durch 00', die Curve R],^ durch 00^ rationale 

 Transformationen in sich übergeht^). 



1) Für p > l dagegen existirt keine Curve, -welche unendlich viele rationale 

 Transformationen in sich zuläfst (Schwarz, Cr. J. Bd. 87). [Vgl. die Noten des "Verf. 

 in Math. Ann., Bde. XX, XXI.] 



