20 Noether: Zur Grundlegung 



dafs für 2^ — 2^m>2'-l-2 die Constantenzahl der R^, 

 deren ebene Schnitte Specialgruppen bilden, 3m+jjH-2 

 beträgt. 

 Die genannte Eigenschaft absorbirt also 4 m — (3m + ]j+2) = 

 m — p — 2 Oonstanten (vgl. R\ am Schlüsse von § 17, 2). 



§3. 

 Sätze über die ebene Projectionscurve einer Raumcurve. 



Benutzt man aus der oo^-Schaar, (3) des § 2, nur eine lineare 

 oo--Schaar zur Transformation von /^, so erhält man eine ebene Curve 

 •m'" Ordnung, welche die Projection der Raumcurve Rf^ ist. Dieselbe sei 

 mit /^ bezeichnet. 



Der Übergang von der Curve /^, zur Raumcui"ve i?^ ist der in 

 § 1, 4 angegebene. Innerhalb der linearen oo'-Schaar ^|,f von Gruppen 6^,,^ 

 auf /^ findet sich als Theil eine lineare oo^-Schaar, 7®, von Gruppen 

 r^^, welche von den Geraden aus /| ausgeschnitten werden. 



Nach dem Restsatze, § 1, I, wird die Schaar g^^ auf /^^ erhalten, 

 indem man durch irgend eine Gruppe aus ^^f eine beliebige zu /^ adjun- 

 girte Curve ?i'" Ordnung legt; die durch die weiteren Schnittpunkte dieser 

 Curve mit f^ gehenden adjungirten Curven n^" Ordnung schneiden die 

 Schaar aus. — Nimmt man insbesondere eine Gruppe r^^ aus g^^ , deren 

 m Punkte alle auf einer Geraden liegen und legt durch dieselbe irgend 

 eine adjungirte Curve einer Ordnung n<Cm, so zerfällt dieselbe in die 

 Gerade durch r^^ und in eine adjungirte Curve ■4'^_i der Ordnung n — 1. 

 Damit dies möglich ist, braucht aber n für p = nur gleich m — 1, für 

 p'^0 höchstens gleich m — 2 angenommen zu werden. Die Curve 4^„_i 

 treffe aufserdem f^ noch in einer Gruppe G,. von 



k^ (n — 1) m — 2 A 

 Punkten, wo h die Zahl der Doppelpunkte der /^ bedeutet: 



A = -|- {nn — 1) (m — 2) — p . 

 Eine durch G^ gehende 00^- Schaar zu /,^ adjungirter Curven n^" Ordnung 

 trifft /J^ in g^} . — Macht man dasselbe Verfahren mit zwei verschiedenen 



