der Theorie der algebraischen Raumcurven. 21 



Curven \|'„_, und ■4^„,_j, so erhält man neben § 1, 4., (2) und (5) auch eine 

 (5) äquivalente Schaar 



(«I ^, + S ^. + «3 Q ^.-,(0 + % ^. (0 = 0^ 

 und vermöge /„,(ö ^ ^ ""^^ 



Xj . a-j . .1-3 . .1^ — c,^ ■ i;»_ ■ i:,i • _^^^ _ ^^-^ 

 zwar ein anderes Monoid 



aber dieselbe Raumcurve R^^^, wie in § 1, 4. Man hat also nach dem 

 Restsatze die Identität: 



■^.-x^..-^.^.-> = ^(l)-/.(ö' .... (1) 



wo A(^) eine ganze Function der Ordnung n-\-n' — m — 1 wird. Die 

 Curve A^O geht durch die l = (7i — l) ('i' — l) — h Schnittpunkte von 

 ■d'„_j und ^^„.„i, welche aufserhalb /,^ fallen und ebenso dui'ch die /' = 

 n(n — 1) — h — k Schnittpunkte von \|/„_j und \t'^, welche aufserhalb/,^ 

 fallen ; umgekehrt kann man auch die Existenz einer Curve der Ordnung 

 n-\-n' — m — 1, welche durch diese /' Schnittpunkte geht, bei gegebenen 

 /„,, ■^„-1, •^^ als nothwendige und hinreichende Bedingung für die Iden- 

 tität (1) auffassen, also für die Existenz von Curven 4'„,^i-, 4'„, , wodurch 

 eventuell die Ordnung der Curven der ^|,f ausschneidenden Schaar ernie- 

 drigt werden kann^). 



1) Hieraus folgt nach Halphen (Bull. II, p. 42) direct eine wichtige Ungleichung 

 für die Zahl h der scheinbaren Doppelpunkte einer i?„,, die wir später (§ 6) auf anderem 

 Wege ableiten werden. Sei n der kleinstmögliche Werth für eine adjuiigirte \L„_j. Damit 

 nun n' nicht < ?t werde, darf keine durch die l' Punkte gebende Curve A von einer Ord- 

 nung <:2n — m — 1 existiren; d.h. man hat als nothwendige Bedingung: 



V = n{n — 1) — A — i- = {n — m) (n — l) -h h ^ i (2 n — m — l) (2 « — m) 

 oder 



h J 5 »ft (m — l) • — n{m, — w) . 



/( ist also jedenfalls = als der kleinste unter den Werthen, welchen die rechte Seite für 



n = m — -2, m — 3, . . ., — , bez. annehmen kann, und da dieses rur n = — , bez. 



2 2 2 



w + 1 . . . , 

 eintritt, so wird 



