22 Noether: Zur Grundlegung 



Für p<Cm — 2 hat nun die irreducible Curve fl keiner weiteren 

 Bedingung zu genügen, um die Projection einer Raumcurve i?,^ zu sein. 

 Denn die von den Geraden ausgeschnittene Schaar 7® bildet dann immer, 

 wie schon in § 2 benutzt wurde, einen Theil einer hnearen 00^- Schaar, 

 die zur Transformation § 1, 4. (2), also zum Monoid, führt. 



Für 'p'^m — 2 wird die Schaar ^^,f eine Specialschaar, ausge- 

 schnitten von den zu fl adjungirten Curven (m — 3)'" Ordnung (§ 1, II), 

 d. h. man kann hier n = 111 — 3 setzen. Die Ourve 4^^_^ wird also von 

 der (m — 4)'"" Ordnung: die h Doppelpunkte der /,f| müssen auf einer 

 Curve (m — 4)'" Ordnung liegen. Aber man kann noch weiter schliefsen : 

 Nach dem R.R.'schen Satze, § 1, III, hat die oo'-Schaar g'-^ von Gruppen 

 G,,^ als Restschaar auf /^ eine 00'- Schaar g' von Gruppen von je 

 m(m — 4) — 2 h Punkten, ausgeschnitten von den durch eine G^,„ gehen- 

 den adjungirten Curven (?h — 3)'" Ordnung, wo 



r = 1 (m — 2) (m — 3) — h ; 



und da an Stelle von 6^,,^ auch irgend eine Gruppe r^, von in Punkten, 

 in denen f^ von einer Geraden geschnitten wird, gewählt werden kann, 

 so folgt, dafs diese Schaar g' auch von der Geraden durch r„, verbunden 

 mit den zu /^^ adjungirten Curven (in — 4)*" Ordnung, d. h. von den letz- 

 teren allein, ausgeschnitten werden kann. Diese bilden eine 00'- Schaar, 

 haben also noch eine Constante mehr, als wenn die h Punkte eine will- 

 kürliche Lage hätten. Umgekehrt folgt nach dem R.R.- Satze, dafs, wenn 

 die zu /^ adjungirten Curven (m — 4)'" Ordnung eine lineare oo*"- Schaar 

 bilden, dann auf /,^ als Restschaar auch eine lineare 00^- Schaar von Grup- 

 pen 6^,^ existirt, in welcher die Schaar 7,^,f enthalten ist. Man hat also 

 den Satz: 



m (m — 2) , (jn — l)^ 



/; i — , bez. , 



~ 4 4 



je nachdem m gerade oder ungerade. Damit durch die h Doppelpunkte von /,„ keine 

 Curve von einer Ordnung <n — 1 gehe, mufs auch /( i -| ?! (« — l) sein, aber diese Be- 

 dingung ist durch die vorhergehende von selbst erfüllt. 



Der bei (V) p. 33 aus Formel § 1 , 4. (10) allein gemachte Schlufs auf die 

 äufserste Grenze von h scheint unzureichend. 



