der Theorie der algehraischen R(tumcitrven. 23 



I. Die nothwendige und hinreichende Bedingung, dafs 

 eine irreducible ebene Curve /^ die Projection einer 

 R^, von einem beliebigen Punkte des Raumes aus, sei, 

 ist für p^m — 2 die, dafs die h Doppelpunkte der /^ 

 für die adjungirten Curven (m — 4)'" Ordnung nur 

 h — 1 Bedingungen darstellen^). Für p<^m — 2 herrscht 

 keine Bedingung. 

 Stellt man nach (B, N), § 9 das Gleichungssystem auf, welches 

 aussagt, dafs die durch h — 1 der Doppelpunkte von /^^ gehenden Curven 

 (vi — 4)'" Ordnung auch durch den /t"" hindurchgehen, so erhält man ein 

 System von p — m -h 3 Gleichungen zwischen den Parametern der h Dop- 

 pelpunkte. Da nun die Bedingungen der h Doppelpunkte und diese 

 p — m + 3 im Ganzen h -+- Qp — m -+- 3) oder weniger von einander un- 

 abhängige Bedingungsgleichungen vorstellen werden, so folgt nur, dafs 

 für p>m — 2 im Ganzen wenigstens od- '" '•"' + s) -/<-(;<- ». + 3) __ ^^4 m - 4 Q\)Q^-^Q 

 Projectionscurven /,^ existiren. Geht man alsdann zu den Raumcurven 

 R^ über, so war der Projectionspunkt willkürlich, also ist durch /f^ der 

 Kegel über /,^ mit Spitze in bestimmt; für das Monoid ist zwar \l'„_j 

 = •4^„,_^ noch auf oo'" verschiedene Arten wählbar, aber die Schaar ^J,f bleibt 

 hierdurch unverändert. An Stelle von -J/^ aber kann dann nach Wahl von 

 \//^_j noch irgend ein x\usdruck der Form (ß^ ^^ + /^g ^2 H- ß^ ^3) 4^„^i (P) 

 -f- iS^ \p,, (0 , bei willkürlich gewählten 4 Constanten /3, gesetzt werden. 

 Die Transformation von /;; in die Raumeurve R^ führt also nur noch 4 

 neue Constanten ein, und so folgt: dafs für j9>m — 2 die Constan- 

 tenzahl der Gesammtheit der i?,f) wenigstens 4 /n beträgt, ein we- 

 niger allgemeines Resultat, als das im vorigen § abgeleitete. 



Vermöge des Umstandes, dafs die h Doppelpunkte für die zu /^^ ad- 

 jungirten Curven (in — 4)'" Ordnung, Cv„_^, nur h — 1 Bedingungen aus- 

 machen, folgt von selbst, dafs auch für die adjungirten Curven G^_^, 



C„,_g, die Zahl der Bedingungen < h sei. Man lege nämlich^) 



durch irgend \i{i-{-\) — 1 der h Doppelpunkte eine Curve C^_^ der 

 (i — 1)"=" Ordnung ; sei P ein weiterer Doppelpunkt. Kann man nun 



') Vgl. auch (V), p. 32. 

 -) (V), pag. 32. 



