24 Noether: Zur G)'und/egung 



durch die h — ■|-i(« + l) übrigen Doppelpanltte eine Ciirve der Ordnung 

 m — i — 3, C,„_;_3, legen, so hat man in C',._j + C'„,_,._3 eine Curve 

 (pi — 4)'" Ordnung, welche durch h — 1 der h Doppelpunkte geht, also 

 auch durch den letzten P. Nimmt man aber P unter den Doppelpunk- 

 ten behebig an, so sieht man, dafs diejenige der beiden Curven, welche 

 durch P geht, auch durch alle /i Punkte gehen mufs. Ist nun i<f — 2, 

 so ist dies nach § 1, 4. (10) für die Curve C^ sicher unmöglich, also 

 geht dann C,„_,-_g durch alle h Punkte. Dies sagt aus: 



II. Kann man durch h — J^(^^-l) der h Doppelpunkte der 

 Projectionscurve /^ eine adjungirte Curve der Ordnung 

 m — i — 3 legen, wo m — i — 3>f — 1, so geht dieselbe 

 auch durch die übrigen 12(^ + Doppelpunkte^). 



Die h Doppelpunkte stellen für die adjungirten Curven C„,_,-_3 also 

 höchstens h — ^i(i -\- l) Bedingungen dar. 



Man kann nun aber auch Beziehungen zwischen diesen Bedingungs- 

 zahlen und zwischen den Ordnungszahlen der Flächen aufstellen, auf wel- 

 chen die Raumcurve i?^,, deren Projection /JJ ist, liegt. 



Die Raumcurve R^^ sei derart, dafs oo*~^ Flächen F., der i'^° Ord- 

 nung, durch sie hindurchgehen, aber nicht mehr. Die Gesammtheit der 

 ^i(i+i)(i+2)(i + 3)-i Flächen F- trifft dann die R^^ in einer linearen 

 QQ|(i+i)a+2)(j + 3)-i-t_gß-haar von Gruppen von je mi Punkten; und dieser 

 entspricht auf der Projectionscurve /"f^ eine ebensolche Schaar </„^;. Sei nun 

 p^mi — ^(«H- l)(^-t- 2)(z -h 3) + 1 + Ä;,- so wird die Schaar ^^^^^ nach 

 § 1, II eine Specialschaar; nach dem R.R,.- Satze, § 1, III, wird die Rest- 

 schaar eine oo'"- Schaar g' von je 7n(rn — i — 3) — 2h Punkten, wo 

 r = -l(«-{-l)(j-f-2)(z4-3) — 1 — k-\-^m(m — 2« — 3) — h 

 ^ |(m — ^■ — 3) (m — i) — [h — 1 «('*' + («' + 2) + k] 

 wird. Aber diese Schaar g' kann durch die zu fl^ adjungirten Curven 

 C,„_35 welche durch eine beliebige Gruppe ^'„j,. gelegt werden, ausgeschnit- 

 ten werden; wählt man nun hierfür aus ^,„; eine solche Gruppe, die 

 durch i gerade Linien aus /^ ausgeschnitten wird (solche Gruppen existi- 

 ren in der Schaar g„,f), so sieht man, dafs die Schaar g' durch die zu 



1) [Vgl. noch (S'), No. 2.] 



