26 Noethek: Zrir Grundlegung 



Nach der Ordnung in' kann durch die Curve R^^ keine Fläche 

 von niedrigerer Ordnung als F^ gehen, welche nicht die Fläche F^ als 

 Bestandtheil enthielte. 



Diejenigen Flächen, welche die Curve R^^ in der allgemeinsten 

 Specialschaar schneiden, sind hier (§ 1, VII) die Flächen der Ordnung 

 lj.-\-v — 4, welche durch die ebene Curve Rl[, hindurchgehen. Dazu 

 gehören insbesondere die Flächen 



E-cp^^,_. = 0, 



vfo E^O die, oder eine. Ebene durch R'J, vorstellt, </>„ + , _5 alle Flächen 

 (.u-i-c — 5)'" Ordnung, soweit die letzteren nicht durch F,^ = und 

 F,^ = reducirbar sind , denn der erste Factor E ist nicht in der Form 

 AF^ -'r B F^ dai'stellbar ; und unter diesen Flächen (p„+.,_^ sind auch die 

 Systeme von m + v — 5 Ebenen durch den Projectionspunkt enthalten. 

 Dem Schnitt von R^^ mit diesen Flächen entspricht auf der ebenen 

 Projectionscui've /J eine Specialschaar von Gruppen 6^„,(„+„_^p unter de- 

 nen auch die Gruppen enthalten sind, die aus je m(iJ.-{-v — 5) auf 

 ju -h i' — 5 Geraden liegenden Punkten bestehen. Eine durch eine solche 

 Gruppe gehende zu /J adjungirte Curve (m — 3)'" Ordnung zerfällt aber 

 in diese ß-\-v — 5 Geraden und in eine zu /J adjungirte Curve der 

 Ordnung m — jj. — i' -|- 2. Dies ist für ?n' > auch die niedrigste 

 Curve, welche durch die h Doppelpunkte hindurchgehen kann, weil 



2 A = (m — m') Qj. — 1) (v — 1) > m(m — ij. — v -\- 1) 



■wird, wenn m'(u-\-v — 7?i' + l)>0, d. h. m' >> ist. Und das Mo- 

 noid niedrigster Ordnung, welches bei beliebigem Projectionspunkt 

 die Curve R'^^ enthält, wii'd ein ilf,„_^_„^_3, von der Ordnung m — jj. 

 — f + S. 



Die Betrachtung, Avelche dem Satze III des vorigen § vorhex'geht, 

 ergiebt nun hier: 



I. Sei i^iJ.-{-v — 5 und ^<C(U; dann giebt es immer zu 

 /J adjungirte Curven (m — i — 3)'" Ordnung, C'„,_,._3, 

 und für diese stellen die h Doppelpunkte von /„'; nur 



lineare Bedingungen dar. 



