32 Noethee: Zur Gntndlegung 



liegenden Basispunkte für die Schaar 7^''-' nur « + 1 Bedingungen dar. 

 Man hat so 



1) für /^ > a > /3 — 1 : 5' =!«(«+ 3) — /3 , 



2) für «<</3 — 1 : g'= ^a(a+3) — (a+l) = i(a — l)(a + 2), 



3) iÜY iJ.<cc : 2'^ Q_i(^_l)(^_2). 



Der letzte Fall liefert kein anderes 5', als das bei einer beliebigen Schaar 

 g^^^ stattfindende g, da für Q > /^(iw — 3) nach § 1,11 (] überhaupt nur 

 ^ Q — )f(jj. — l)(a — 2) werden kann. Im ersten Fall haben die Q 

 Punkte «iner Gruppe aus 7'^*'' keiner anderen Bedingung zu genügen, als 

 auf einer Ourve a'" Ordnung zu liegen; im zweiten Fall zerfällt jede 

 Gruppe aus 75|'^ in ij. — ß feste Punkte, die auf einer Geraden liegen, 

 und in (a — l)/y. bewegliche Punkte, welche von den Curven (« — l)'" 

 Ordnung ausgeschnitten werden. 



Man kann nun in diesem zweiten Falle eine Schaar (/'^'^ construi- 

 ren, welche allgemeiner ist, als die genannte Schaar 7^'*, und für welche 

 q doch denselben Werth g' hat. Man nehme nämlich für eine Gruppe G^ 

 (« — 1)/^ Punkte auf einer C„_^ und dazu \x — ß beliebige Punkte der 

 /,^, so kann man durch dieselbe, da ij. — a — ■%'^y. — ß, eine C^_„_^ 

 legen. Eine durch diese Gruppe G^ gehende Curve C^_^ zerfällt in die 

 C„_j und in eine durch die ij. — -ß Punkte gehende C,,_„_,, welche noch 

 aufserdem in einer Gruppe G^ von 



R = fxQx — a — 2) — (ß — ß) ::= jj. (u — a — 3) + /3 



Punkten trifft. Dann wird die Schaar, welche G^^ enthält, ausgeschnitten 

 von den durch ö^ gehenden (7^_ 3, welche alle, da i? > (/^ — 3) (w — a — 2), 

 in die C^_„_2 durch G'^ und in eine beliebige C„_j zerfallen. So erhält 

 man hier eine Schaar g'^'\ bestehend aus fj. — ß festen, ganz beliebigen, 

 Punkten und aus den von allen C„_j ausgeschnittenen Gruppen; also in 

 Bezug auf den beweglichen Bestandtheil dieselbe Schaar, wie oben bei 

 der 7q''\ — Dieselbe Schaar existirt auch noch für a^ß — 1. 



Es soll jetzt bewiesen werden, dafs die Schaaren ^/'^J' mit dem 

 Maximalwerth q überhaupt keine anderen sind, als die genann- 

 ten; d. h. also für QSiJ-(ß — 3) und 1) a>ß — i Schaaren von 

 Gruppen 6^^, deren Punkte auf einer Curve «'" Ordnung liegen; 

 2) für a<ß — 1 Schaaren von Gruppen G^, welche aus y. — ß 



