der Theorie der algebraischen Raiimcurven. 83 



festen, im Übrigen ganz beliebigen, Punkten und aus (« — l)/!-c 

 beweglichen auf einer C„_^ liegenden Punkten bestehen. 



Zunächst ist klar, dafs, wenn die Schaar ^'j' der Gruppen G^ eine 

 der genannten ist, auch die Restschaar ^^*, welche durch den Schnitt mit 

 Curven C„_3 durch G^ entsteht, auf die gleiche Weise constituirt ist; und 

 zwar, dafs der Fall 2), bez. 1) für (Jj^ eintritt, wenn der Fall 1), bez. 2) 

 für g^^^ vorhanden war, und umgekehrt. Für a^ ß — i besteht also nun 

 G^ aus R^ IX (w — rt — 3) H- /3 Punkten, die auf einer Curve C„_„_2 lie- 

 gen; für a>ß — 1 besteht G^ aus ß festen beliebigen Punkten und aus 

 (ß. — et — 3) |U beweglichen auf einer C^_„_3 liegenden Punkten. Hiernach 

 bleibt nur der Fall 1), a>ß — i, zu behandeln. 



Sei G^'y'' eine Gruppe aus einer Schaar von einem Werth q>q' = 

 ^ a (et +3) — /3 , für ct>ß — 1 . 



Die Curven {fx — 3)'" Ordnung, C„_3, welche durch (r|j' hindui'ch- 

 gehen, bilden nach dem Satze III des § 1 eine oo'- Schaar, wo 

 r >\(jx — et — 3) {u. — «) . 



Aber diese Curven können zerfallen; und sie mögen alle in eine feste 

 Curve z*" Ordnung, C,, für «^«, und in Curven (w — i— 3)'" Ordnung, 

 C„_;_3, zerfallen, die nicht alle reducibel sein werden. Die feste Curve 

 C. möge durch ui — j unter den Q Punkten von G^^ gehen, die C'^_,_3 

 durch die (« — i) ix — ß-\-j übrigen. 



Wir betrachten auf einer solchen irreduciblen Curve C^_^_^ alle 

 oo"^* beweglichen Schnitte, welche durch die übrigen C^_._^ auf dieser 

 Curve ausgeschnitten werden. Man erhält auf der C„_;_3 eine cx)"^^'- Schaar 

 von Gruppen von je 



S=(ß — i — 3)- — (a — i) IX -\- ß — j = Qx — i — 3) (w — « — 3) 



_[(«_,-)(,■ + 3) -/S+y] 



Punkten. 



Nun können wu- aber den für die ebene Curve /„ zu beweisenden 

 Satz für die irreducible ebene Curve C„„,_3, von niedrigerer Ordnung 

 als /„ und ebenfalls ohne vielfache Punkte, als bewiesen ansehen. Es ist 

 aber das zweite Glied von S: 



(a — {) (i +3) — ß -+-J > «■ + 3 > 3 , 

 sobald «>2-t-2 genommen wird, wie man sieht, wenn man für ß den 

 3Iath. Abh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1882. I. 5 



