34 Noether: Zur Grundlegung 



äufsersteti Werth a + 1 einsetzt. Daher besteht dann die Gruppe Gg aus 



höchstens 



(iu — i — 3) (it^ — a — 3) — 3 



Punkten, und nach unserem Satze kann es von diesen Gruppen auf G^_^_^ 

 höchstens eine oo^'"~"^^*'"~"'~^-Schaar geben. Da nun nach dem Obi- 

 gen wenigstens eine oo^'"~°~^^"'~°'"'^-Schaar existiren müfste, folgt: 

 dafs z>a — 2 sein mufs. 



Dies sagt aus, dafs die Gruppe G''l\ für welche q>q' hi, ent- 

 weder auf einer C„ liegt, indem alle durch G'-^^ gehenden C„_3 in diese 

 C„ und irgend welche C^_^_^ zerfallen; oder dafs durch (a — l) jj. — j 

 der Q Punkte eine C„_j geht, und dafs alle C^_^ durch die G^ zerfallen 

 in diese C„_j und in Curven C^_„_2, welche durch die m — ß-hj wei- 

 teren Punkte von G^ gehen. Da hier q^q', r>r' sein soll, so dürfen 

 diese /^ — f^-^-j Punkte für die C^_„_^ nicht mehr als m — « — 1 Bedin- 

 gungen ausmachen; und da hier weiter /3 < a-j-l, ist dies nur dann mög- 

 lich, wenn entweder die y. — /3 -[-_;' Punkte auf einer Geraden liegen, oder 

 wenn /3 = « + 1, /= und die jw — ß -\-j= u — a — i Punkte ganz be- 

 liebig liegen; im ersten Fall hat man Q Punkte auf einer C„_^ und einer 

 Geraden , also wieder auf einer C„ , im letzten Fall hat man (« — l) pc 

 Punkte auf einer C„_^ und jw — a — i willkürliche Punkte. Man hat also 

 für a^ß — 1 genau die im Satze angegebenen Schaaren, womit der Satz 

 nach dem Obigen völlig bewiesen ist. 



Man kann die Aufgabe und den Satz noch in anderer Form aus- 

 sprechen, so dafs sie sich zugleich auf solche Gruppen G^ beziehen, für 

 welche die Anzahl Q die Grenze ß (w — 3) übersteigt. Die Aufgabe ist, 

 auf /^ Gruppen G^ anzugeben, durch welche die Maximalzahl 

 von Curven C,, v^" Ordnung, hindurchgeht (wenn man immer C^ 

 durch Ausdrücke der Form A,_^-/„ reducirt). 



Für QSlJ'(^ß — 3) ist nach dem R.R. -Satze, § 1,111, die Aufgabe 

 identisch mit der vorhin betrachteten, die Gruppen Gq^ anzugeben, welche 

 zu einer Seh aar von der Maximalzahl der Mannigfaltigkeit gehören. 



Für Q >> ß (jj. — 3) und B = v ß — Q^ fj. (ß — 3) bilden nach 

 § 1, II die Punktgruppen ö^, in welchen /„ von den durch G^^ gehenden 

 C„ geschnitten wird, immer eine 00" ""^"7'""" '^^^'-Schaar; man kann 

 dann also die Q Punkte ganz beliebig nehmen. 



