36 Noether: Zur Grundlegung 



§6. 



Die Curven vom Maximalgeschlecht auf einer Fläche von 

 gegebener Ordnung. 



Es soll in diesem § mit Hülfe des vorhergehenden ein dem letzten 

 Satze desselben ganz analoger Satz, der sich aber auf Flächen, statt 

 auf ebene Curven, bezieht, nachgewiesen werden: dafs die Curven 

 i?^, von gegebener Ordnung m, welche auf einer irreduciblen 

 Fläche i^^, von der Ordnung |W, liegen sollen und das gröfst- 

 mögliche Geschlecht haben, diejenigen Curven R^^ sind, welche 

 eine ebene Restcurve auf F^^ besitzen^). 



Sei 



m = ap. — ß , (O S ß <C ß) ; 



eine ebene Curve /3*" Ordnung auf F^ sei mit R,^ und ein weiterer 

 Schnitt von -F,, mit einer durch R^, gehenden Fläche F^, der «""' Ord- 

 nung, sei mit R^^ bezeichnet. Wie am Anfange des § 4 hat man für R^ 

 und ihren Schnitt mit Rß,: 



TT = 1 (/3 — 1) (/3 — 2) 4- i(api — 2/3) (^ + a — 4) , 

 h =^(aß — 2ß)Qj.— l)(a—l) , 

 5 == ß(ß-\-a — ß — l) . 



Die zu untersuchende Curve sei R^. Um nun zunächst den Be- 

 weis zu führen, dafs p immer ^ tt sein mufs, suchen wir eine obere 

 Grenze r für die Mannigfaltigkeit aller Flächen c'" Ordnung, welche 

 überhaupt durch eine R^^ von irgend einem j) gehen können. Nimmt 

 man aber das willkürliche v genügend grofs an, so ist bekannt (und wir 

 werden es im § 7 wiederfinden), dafs es nicht mehr als vm-i-l — p 

 lineare Bedingungen für F^ ausmacht, wenn F^ durch i?^ gehen solL 

 Man hat dann also 



i(i'H-l)(''H-2)(r + 3) — 1— (fm+l— ];) <t, 

 und damit eine obere Grenze für p. 



1) Vgl. für den Satz auch (V), pag. 64. 



