38 Noether: Zur Grundlegung 



Hier ist zunächst 



^ = / = iC" — /^ + OC" — M + 2)(u — f^ + 3) . 



Um die Zahlen l^, l^, .... auszuwerthen , kann man statt i?J^ 

 irgend eine der Curven R"^^ auf P„ setzen, für welche E- ein Rest ist, 

 da nach dem Restsatz § 1, VI sich alle corresidualen Curven gleicher 

 Ordnung in Bezug auf die Mannigfaltigkeit der hindurchgehenden Flächen 

 völlig gleich verhalten. Wir setzen also für i?J, eine Curve jR(„_j)„, die 

 vollständiger Schnitt einer i^„_i mit F^ ist, in Verbindung mit einer 

 ebenen Curve -Rf._/5- 



Die in der Flächenart (i-{-2) vorkommenden, durch i?J, gehenden, 

 oo''~^ Flächen F^_f zerfallen dann vermöge i^^ = o alle in die Fläche 

 F^_^, verbunden mit den durch die ebene Curve Ä„_ß gehenden Flächen 

 F„_i_„+^, welche nicht E zum Factor haben. Und wir beweisen allge- 

 mein, dafs die Flächen jFj durch eme ebene Curve i?„_^ vermöge F^ = 

 und E=0 eine ebensolche Mannigfaltigkeit bilden, als vermöge /^ = o 

 die Curven C^ durch ij. — ß Punkte, in denen eine Gerade die /„ trifft. 



Denn für die letztere Mannigfaltigkeit hat man 



2) + /3, 



Was die erstere Mannigfaltigkeit betrifft, so stellt die ebene R^_i für F^, 

 § ^ 1^ — ß-, noch 



^0^ — /3) 4- 1 — 1 (u — /?. — 1) (u — ß — 2) 



lineare Bedingungen dar; vermöge F^ = hat man also überhaupt noch, 

 für ^ ^ f^, oo'' Flächen F, durch R^_ß, wo 



^ = ¥ (? + 1) (? -t- 2) (o + 3) — 1 — 1 (? — f/ + 1) (? — f^ 4- 2) (o — M + 3) 

 — [^(/^ — /3) + i — 10^ — /3— 1)0.. — /3 — 2)] . 



Von diesen oo'' Flächen zerfallen aber noch oo'' in die Ebene E und in 

 Flächen F,_^^ durch R„_s,, wo 



'■' = i?(? + 1)(? + 2) — 1 — i(? — m)(o — /^ + 1)(? — /^ + 2) 

 — [(? — 1)0^- — /3) + 1 — 1(/^ — /3 — l)(a — /3 — 2)] , 

 und es bleiben also für die ersteren, nicht in E zerfallenden Flächen F^ 

 noch oo''"'''"^ übrig. Diese Mannigfaltigkeit wird aber 



