der Theorie der algebraischen Raumcurven. 39 



/• — r'—\ = {^ — \)\x — \{jj. — i)(m — 2) H- /3 , 



■wie oben für ^ ^ M- 



Für fj.^ ^>yL — ß wird 



r=i(? + l)(? + 2)(? + 3)-l-[?(^-/3) + l-4(/3-l)(/3-2)], 



'•'=i?(? + 0(? + 2)-i -[(.-!)(*. -/3) 4- i-K/3-i)(ö-2)], 



r — r' — \= \ ^(^ + 3) — (jx — ß) , 



ebenfalls wie oben. 



Für § < M — /3 zerfallen alle F^ in die Ebene durch i?„_,j und 

 in beliebige F^_^, von denen es ebenfalls vermöge £=o genau so viele 

 giebt;, als Curven C\_j, nämlich oo^"'^"*"*"^'. 



Aus dem Gesagten folgt, dafs die in der Flächenart (i-\-2) vor- 

 kommenden Flächen bei der speciellen i?^ aus dem ebenen Schnitt /^ 

 von F^ sämmtliche Gruppen von 



fx(y — « — i-\-\) — (w — ,ß) = ju(i/ — a — i) -\- ß 

 beweglichen Punkten ausschneiden , welche auch durch die Curven 

 ((■ — a — {+!)'" Ordnung, die durch jw — ß auf einer Geraden liegende 

 Basispunkte gehen, ausgeschnitten werden können; und jede dieser Grup- 

 pen nur einmal. Die Mannigfaltigkeit /. — l stimmt also genau 

 überein mit der Maximalzahl der Mannigfaltigkeit einer Schaar 

 von Gruppen (?„(„_„_,,+ß ^n^^ /„ ('*= 0, 1, ..., i — «) (siehe §5). 



Geht man nun auf die durch R^ gehenden Flächen c'" Ordnung 

 zurück, so treffen die in der Flächenart (« + 2) enthaltenen oo''^' Flä- 

 chen F^_^ durch i?,^; die ebene Curve /„ in oo*~^ von einander verschie- 

 denen Gruppen von je /-».(t — a — i')-\-ß Punkten. Da aber nach dem 

 Vorhergehenden /. — 1 die Maximalzahl für eine solche Schaar ist, so 



folgt: 



k^^S,li•{^^= o,\, ...,v — «) . 



Daher wird die Gesammtmannigfaltigkeit der durch die 

 R^^ gehenden Flächen /" Ordnung 



^^+'0 + ^1 + + C» — 1==^ , 



und, nach dem am Anfange dieses § Gesagten hat man hiermit 

 zugleich eine obere Grenze für p, welche nach der Definition 

 der Rl, mit tt übereinstimmt. 



