40 Noether: Zur Gnmdleg^mg 



Jetzt ist es auch leicht, den Hauptsatz dieses § vollständig zu 

 beweisen. Sucht man die allgemeinste Curve i?*) auf i^„, deren Geschlecht 

 p mit der Maximalzahl ir übereinstimmt, so mufs für diese -ßf, 



^^o + ^"i + ----+^\-« = ^o + ^i + ---- + C« 



werden, also : da alle Zahlen k und / oder positiv und die A;, < /,. sind : 



k.^=If (^ = , 1 , . . . , f — «) . 



Da insbesondere 1„_„>Q ist, so folgt auch 

 ^■„_, > , 

 d. h. durch Rl mufs für p = Ti- nothwendig eine Fläche «'" Ord- 

 nung hindurchgehen. Der Restschnitt mit -F„ wird dann eine Carve 

 i?,3 von einer Ordnung < ß, eine Cui've, die offenbar ihr Maximalge- 

 schlecht nur erhält, wenn sie keine scheinbaren Doppelpunkte hat, also 

 eben ist. — Hiermit ist der Beweis vollständig erbracht. — 



An diesen Satz lassen sich noch einige für die Theorie der Raum- 

 curven wichtige Bemerkungen und Folgerungen knüpfen. 



Die Fläche F^^ auf welche sich der Satz bezieht, war, wegen der 

 Betrachtungen an dem irreduciblen ebenen Schnitt /^, selbst als irre- 

 ducibel in dem Satze vorauszusetzen. Die Raumcurve i?"j dagegen, 

 welche das Maximum tt des Geschlechts hat, kann irreducibel oder redu- 

 cibel sein, und das letztere wird dann jedenfalls eintreten, wenn a<;/ö 

 ist, für m = a jU — /3 , ß < ij. — 1 . 



Weifs man nur, dafs i?,f^ überhaupt auf einer Fläche /-i'" Ordnung, 

 F^, liegt und dafs p > tt ist, so mufs jedenfalls F^^ reducibel sein, da 

 auf der irreduciblen F^^ das Maximum des Geschlechts der i?,,^ über- 

 schritten ist. Ist also zu gleicher Zeit i?,^ irreducibel, so liegt diese Curve 

 jedenfalls auf einer Fläche niedrigerer Ordnung, als der |u'°°. — Aber man 

 kann unter Umständen die Grenzen noch genauer angeben. 



Die Curve i?J, = i?^^_s wird aus der irreduciblen F^ durch eine 

 Fläche jP„, der Oi"dnung a, ausgeschnitten. War nun a > /3, so kann man 

 für R^^ auch eine irreducible Curve nehmen, die von einer irreduciblen 

 durch die ebene i?,; gehende F^ aus i^,, geschnitten wird. Für a>ß 

 haben also F^ und F^ die gleiche obere Grenze 7r„=7r für das 

 Geschlecht der R^i,_n. Denn der Restschnitt ist eben für beide irre- 

 ducible Flächen. 



