der Theorie der algebraischen Raumcurven. 41 



Ist aber a < /3, so zerfällt die F„, die durch R., geht, in die Ebene 

 durch i?3 und in eine Fläche F^_y Eine irreducible F„ hat dann 

 eine andere obere Grenze tt^ des Geschlechts der R^^_g,, und 

 zwar ist t^^tt. Denn um aus einer irreduciblen i^„ eine Maximalcurve 

 Rl^" auszuschneiden, hat man, wenn /3 = ^ « -(- /S^^ , ^^1, ß^-^iu, m = 

 aß — ß = a(u — ^) — ß^ wird, nur eine Fläche F^_,, von niedrigerer 

 als iu'" Ordnung, zu legen, die F„ nicht als Factor enthält; die Rj^^" liegt 

 aber dann auch auf einer irreduciblen Fläche ju'" Ordnung, deren Glei- 

 chung die Form hat: A„_„- F^,-\- A, F^_,=:0. Aus dem letzteren Grunde 

 mufs TT^ < - sein, und da der weitere Schnitt mit jF„ wegen seiner zu 

 hohen Oi'dnung kein ebener werden kann, folgt tt^^tt. 



Ebenso haben alle irreduciblen Flächen F^, für welche 

 iu > 1/ > « ist, für die Curven i?,„^i?„„_5 eine obere Grenze tt^ 

 des Geschlechts, für welche 



< TT 



Denn sei 



m = « M.„ — ß^ , 

 = (« + 1) Ml — /3j , 



= (« + 2) fX^ — /2„ , 



wo ^ /3. < « -|- ?', also 



1^ > Mo > f^, > /-'s > • • • > '-^i = " + ^' 

 werden sollen. Die irreducible F„_^. und die irreducible i^„. haben nach 

 dem Gesagten für eine Curve Ä„, dasselbe Maximalgeschlecht -^^. = 

 TT^., und diese R^ selbst kann als ii-reducibel genommen werden. Diese 

 Curve R^ liegt aber dann zugleich auf einer ii'reduciblen Fläche -F„._ von 

 der Ordnung u ,, woraus zunächst folgt, dafs tt^ , das Maximalge- 

 schlecht der i?„, auf F^_, ^ 7r„_^. sein mufs. Aber es folgt weiter: 

 7r„ _ > 7r„_^j, weil i?„j, durch die niedrigstens die Fläche (a -f- j)'" Ord- 

 nung, F„^., hindurchgeht, auf F^._ keinen ebenen Rest haben kann. 

 So hat man also 



Math. Ahh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1882. I. 6 



