42 Noether: Zur Grundlegung 



Es bleiben nur noch diejenigen Flächen F, zu betrachten, deren v zwi- 

 schen zwei Zahlen |J.^ und \j..__^ liegt. Bei einer solchen Fläche F^ ent- 

 steht eine R^^ niedrigst ens durch den Schnitt mit einer -?'„+;, und das tt, 

 wird dann = 7r„. sein, wenn v = ju. -|- 1 und /3. = o ist; für andere ß. oder 

 andere i' > jj-- mufs aber wieder der Schnitt der F^ mit der F^_^_^ zerfallen, 

 und man hat '?■„>'!■„.; zugleich liegt i?„, wieder auf einer irredaciblen 

 F^,_ , und da keine jF„_^,.__j hindurchgeht, folgt 7r^<;7r^_ . 

 So sieht man, dafs die Maxima von tt,^: 



für die irreduciblen Flächen F„, F^_^_^, F^_^_^, ... und die i?^/ eine 

 absteigende Reihe, die Maxima: 



also die entgegengesetzte aufsteigende Reihe bilden, dafs auch 

 die 7r„ für Flächen jF„, deren v sich zwischen zwei Zahlen jW;_j, |U. ein- 

 ordnet, sich ebenfalls zwischen die betreffenden tt^ und tt^. ord- 

 nen, wobei Gleichheit 7r^=7r^. nur eintritt, wenn i'^ju.-f-l, 

 ß.= wird. 



Sei jetzt p>7r, wo tt das Maximum des Geschlechts für 

 die Curven R^^ auf der irreduciblen F^; dann wird auch jj > tt 

 > 7r„ >> TT^^j >> . . . .; weifs man nun, dafs eine irreducible Ä^J auf 

 einer Fläche |u'" Ordnung liegen mufs, so folgt, dafs dieselbe 

 auch nothwendig auf einer F^_^ liegen mufs, da sie auf keiner 

 irreduciblen Fläche F„, F^_^^, ... F„ liegen kann. 



Die Betrachtung über die Reihe der tt^, t^^^, ... liefert sogleich 

 noch einen wichtigen Satz. Sucht man den absolut gröfsten Werth 

 von p für die Raumcurven m'" Ordnung, i?^, so ergiebt sich, dafs man 

 a möglichst niedrig nehmen mufs. Dies heifst aber: Die nicht ebenen 

 Curven m'" Ordnung vom Maximalgeschlecht müssen auf Flä- 

 chen 2'" Ordnung liegen; sie werden auf der F^ erhalten, in- 

 dem man als Rest auf F^ einen ebenen Schnitt nimmt, also in- 

 dem man durch Flächen der Ordnung — , bez. durch Flächen 



der Ordnung , die durch eine Gerade von i^„ gehen, schnei- 



det. — (Dies liefert die in § 3, Anmerk. 1, angegebenen Grenzen für p 

 oder h.) 



