der Theorie der algebraischen Raumcurven. 43 



§7. 



Die Bedingungen, dafs eine Fläche F^ durch eine gegebene 

 Raumcui've Rl^ hindurchgehe. 



Für die Raumcurve i?,^ nehmen wir an, dafs sie irreducibel 

 sei. — Die Mannigfaltigkeit der Flächen F,^, (u'" Ordnung, sei im Fol- 

 genden immer mit 



i\ = l(w + 1) (u + 2)(u + 3) — 1 

 bezeichnet. 



Zn nächst sei gezeigt, dafs es immer irreducible Flächen jP,„_, 

 giebt, welche durch eine gegebene Raumcurve i?,^ hindurchgehen. 



Denn die oo'^"'-i Flächen i^,„_i treffen die Raumcun^e i?,f| in einer 

 Schaar von Gruppen G^,„(,„_i, von je m(?n — l) Punkten, Gruppen, von 

 denen es, wegen m(rn — l) > 2^3 — 2, nach §1,11 nur oo'"'"'""^'"'' auf 

 R^ gehen kann; daher geht nothwendig wenigstens eine lineare Schaar 

 von oo^m-i-"'f"'-i'+p-i Flächen F„,_j durch R^. Würden nun diese F,,,.^ 

 alle reducibel sein, also in eine Fläche F ,, die durch i?^, geht, und in 

 alle Flächen -F',„_j_j zerfallen, so müfste 



sein, aber diese Ungleichung ist selbst für den günstigsten Fall ^ = 2, 



wo sie in 



^ m + ^ — 1 



übergeht, für p > 0, m >> 1 nicht zu erfüllen. 



Ebenso folgt, dafs es auch immer irreducible Flächen -F„,_2 giebt, 

 welche die J?,f| enthalten, ausgenommen, wenn i?,^ auf einer F„ liegt und 

 zugleich p ^Q ist. 



Wir behandeln nun die Bedingungen, unter welchen eine F^ über- 

 haupt durch eine irreducible i?,^ geht. 



Die oo'^" Flächen m'" Ordnung treffen die Curve i?,^ in Gruppen 

 ^/»m ^"^^ J® f^''^^ Punkten. Sobald nun 



\j.m > 2jj — 2 , (1) 



kann es (§1, II) auf R^ nur eine lineare oo"'""^- Schaar solcher Gruppen 

 geben; und es laiufs also nothwendig wenigstens eine lineare 



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