44 Noether: Zur Grundlegung 



oo*"~""'"^*~*-Schaar von Flächen F„ durch R^ gehen. Dies setzt 

 nur voraus, dafs diese Mannigfaltigkeitszahl nicht negativ werde, also: 

 p^fj.m — N„-^\ (2) 



Ist nun (1) und (2) erfüllt, so folgt auch 



//m<:2iV^ (3) 



Umgekehrt aber braucht (1) noch nicht erfüllt zu sein, wenn (2) und (3) 

 bestehen; und man kann doch zeigen, dafs auch dann schon eine Fläche 

 F^ durch E^ gehen mufs. 



Zu dem Zwecke ist der Satz § 1, III' zu benutzen, nach welchem 

 auf einer Curve B^ eine lineare oo'-Schaar von Gruppen G^^ von je 

 Q Punkten, in welcher eine Gruppe Q — g + l willkürlich zu wäh- 

 lende Punkte enthält, nur für p <C Q — 2 + 1 existiren kann; dafs also, 

 wenn p ^Q — ? + 1 und Q — ■ q-^\ Punkte einer Gruppe willkürlich 

 sind, die Schaar höchstens eine oo'~^-Schaar sein kann. 



Würde nun keine i^, durch i?| gehen, so hätte man auf R^^ eine 

 oo^"- Schaar von Gruppen ö,^„, und von den Punkten einer Gru23pe 

 sind iJ-m — N,,-\-l willkürlich wählbar, wenn 



f/m — iv; + i ^iv;, , 



d. h. wenn (3) erfüllt ist. Ist also auch (2) erfüllt, so kann die Schaar 

 keine oc^'^ - Schaar sein, und es mufs eine F,, durch R^ gehen: 



Die Ungleichungen (2) und (3) sind hinreichende 



Bedingungen, dafs durch die i?^^ eine F,^ gehe. 



Ähnlich folgt ein allgemeinerer Satz. Nimmt man an, dafs bereits 



QQ^-i piächen F,, durch Rf^ gehen, so erhielte man auf i?^J vermöge aller 



F^ noch oo^""^ Gruppen von je /^m Punkten. Sind also |wm — (iV^^ — '*^) + l 



Punkte einer Gruppe ganz willkürlich, d. h. ist 



y.m — (iv;, — X) + 1 < iv;, — A , 



oder 



ium < 2(iV;, — A), (4) 



und ist ferner 



p > IJ.m — (iV„ — A) , (5) 



so gehen wenigstens cx)^ Flächen F^ durch i?^. Die Bedingung für die 

 Annahme, dafs oo'""^ F,^ durch Rf^^ gehen, ist aber durch (4), (5) von 

 selbst erfüllt, und man kann die Annahme auch weglassen: 



