der Theorie der algebraischen Raumcurven. 45 



Wird der gröfste Werth der ganzen Zahl A, wel- 

 cher den Ungleichungen (4), (5) Genüge leistet, nicht 

 negativ, so hat man die hinreichende Bedingung, dafs 

 durch i?^, eine lineare oo^-Schaar von Flächen i^„, und 

 im Allgemeinen auch keine weitere F„, hindurchgehe. 



Setzt man statt Formel (2) die (5): 



p ^ IJ.m — iV^„H-A-+-i, 



und verbindet diese Formel mit (1), so folgt daraus (4); der aus (1), 

 (2) geschlossene Satz ist also ein specieller Fall des zuletzt aus (4), (5) 

 gegebenen. 



Wenn die Grenzen (4), (5) nicht eingehalten sind, so Hefert un- 

 sere Betrachtung keine Entscheidung über die Frage, ob die i?,f^ auf einer 

 F^ liegen mufs. Man wird dann im Allgemeinen auf die Grenzbetrach- 

 tungen des vorhergehenden § recurriren müssen. Nur der im § 1, III" 

 erwähnte Fall, bei welchem die Grundcurve hyperelliptisch werden müfste, 

 kann noch auf diesem Wege erledigt werden. Denn da nicht alle F„ die 

 Eigenschaft haben können, die R^^ in einem weiteren gemeinsamen Punkte 

 zu treffen, sobald sie durch einen beliebigen Punkte von R^^ gelegt wer- 

 den, so raufs auch eine F^ durch i?,f, gehen, sobald |wm — N„ der 

 Punkte einer Gruppe willkürlich sind, d. h. für 



lxm<2N^ (6) 



und für 



p > ixm — iV^ -I- 1 (7) 



Wir wollen die obigen Resultate noch specialisiren. 

 Die Ungleichung (3) schreibt sich auch 



m<i(^ + 2)0^4-4)H-l , (3') 



so dafs zunächst die unterste Grenze der ij., auf welche sich der Satz 

 bezieht, einfach zu bestimmen ist. Ein dieser Ungleichung genügendes jm 

 wird man dann um so kleiner wählen können, je gröfser p wird. Man 

 wähle also zunächst das kleinste ju, ij. = ix^, welches der Ungleichung 

 (3') und zugleich der Ungleichung 



^ M^m — iV,^^ + 1 , (8) 



d.h. 



