46 Noether: Zur Grundlegung 



^^<iK + 1)0^0 + 5) + ! (8') 



Genüge leistet; wobei aber (3') vermöge (8') von selbst erfüllt ist. 

 Ist dann 



^ ^ < K — 1)"1 — ^Mo-1 + 1 . 



und ist i?* eine Curve m'" Ordnung von einem solchen Geschlecht jj, 

 die keiner weiteren speciellen Bedingung genügt, so liegt R^ für u^m 

 > 2p — 2 auf genau oo^""'''"+*''o-i Flächen F^^. Für fx^m ^2p — 2 

 könnten auch nur oo^~'''"""^^''o~'^ Flächen F,,^ hindurchgehen , worüber 

 genauer der oben aus (4), (5) abgeleitete Satz entscheidet. 



Sei allgemeiner 



m (Mo — ^• + 1) — iV,„_ .^j + 1 <p <; m (/^„ — i) — N,^_, + 1 , (9) 



und ist R^ eine Curve m*"' Ordnung von einem solchen Geschlecht p, 

 die keiner weiteren speciellen Bedingung genügt, so liegt i?,^ für 



m(pio — ^■^-l) > 225 — 2 (9') 



auf genau oo'^' Flächen i^,„_j+i, wo 



\ = P — mO-^o — ^ + 1) + ■^.„-,■+1 — 1 • 

 Wenn aber (9') nicht erfüllt ist, dagegen (3) oder (3') für 

 )^c:=/^^J-|-^ — 1, so entscheiden (4), (5) darüber, ob cxd^« oder oo'''""^ 

 Flächen jF].„_,;+i durch R^ gehen. 



Zu den obigen Sätzen, welche für eine specielle Curve R^^ nur 

 eine obere Grenze für die Zahl der -F,^ aufzulegenden Bedingungen ge- 

 ben, damit dieselbe durch i?,^ gehe, tritt noch ein weiterer Satz, welcher 

 diese Zahl in gewissen Fällen genau angiebt. 



Die Zahl der Bedingungen war für eine i^^, für welche 



IJ.m > 2p — 2 , 

 höchstens |um + l — p. Für iJ.m<2i) — 2 konnte diese Zahl auch 

 >)[/m-|-l — p werden. Der Fall, dafs die Bedingungszahl <:iiJ.m-{-l — p 

 ist, kann für ixm > 2p — 2 eintreten, wenn die R^ keine allgemeine Curve 

 ist. Nun ergiebt aber der Satz § 1, VII, dafs, wenn R^^ der Schnitt 

 zweier Flächen F^, F, , der i''^° und c^"" Ordnung, und die Restcui've 

 R^, irreducibel ist, dann sicher vermöge i^^ = o und F^=Q genau 

 qqJ!'-i Flächen der Ordnung v~{-v^ — 4 durch R^^ hindm-chgehen , d.h. 

 dafs für diese i^„^„ _^ die Curve R^ genau m(^j-{-v^ — 4)+! — p Bedin- 



