48 Noether: Zur Grundlegung 



Wir behandeln hier die Bedingungen , unter welchen eine Fläche 

 f'" Ordnung, F^, durch i?,^ hindurchgehe, ohne dafs die F^ die i^„ zum 

 Factor enthalte. Dabei nehmen wir 



v^jJ^ — 3 

 an, und gebrauchen die Bezeichnung (§ 7): 



= -§-("+ 1) (^+ 2) (fH- 3) — -i- (v— fx + 1) (y— fx-h2) (i'— /^ + 3) — 1 

 = i (l^— l)(f^— 2)(f^— 3) -f- 1 M 1/ (i' — f^ + 4) . 

 Die Zahl W^,, stellt die Mannigfaltigkeit aller Schnittcurven lUi-'" 

 Ordnung dar, in welchen die Fläche F„ von sämmtlichen Flächen i" Ord- 

 nung des Raumes geschnitten wird. 



Die auf i^„ liegende Curve R^ wird von den Flächen F„, von de- 

 nen vermöge ^„ = noch oo"'"''^ existiren, in Gruppen ö^^^ von je vm 

 Punkten getroffen. Sobald nun 



V m >■ 2 p — 2 , (1) 



kann die Schaar der Gruppen G^„„^ höchstens eine ©©""'"^-Schaar sein; 

 und es mufs also, wenn aufser (1) auch 



■p>vm — "PF„„-hl (2) 



ist, nothwendig wenigstens eine lineare oo'^'"'»"'""'^^"^- Schaar 

 von Flächen F„ , von denen keine i^^ zum Factor hat, durch 

 Bl gehen. 



Man kann aber dieses Resultat wieder erweitern. Fragt man zu- 

 nächst nur, wann eine nicht in -F,^ zerfallende Fläche F„ durch R^ geht, 

 so mache man die Annahme, dafs keine solche F^ die i?^ enthalte. Dann 

 hätte man auf R^^ oo"'"'" Gruppen von je vm Punkten, durch den Schnitt 

 mit den F^; und von den Punkten einer Gruppe wären v • m — W^ ,^-\-l 

 dann sicher willkürlich wählbar, wenn 



d. h. 



i'-/^<;2 Pr„,„ (3) 



ist. Ist nun aufserdem die Ungleichung (2) oder 



])>vm—W„^^ (2') 



