50 Noether: Zur Grundlegung 



Wenn die Ungieichang (2) nicht erfüllt ist, so wii'd es eine spe- 

 cielle und die Curve charakterisirende Eigenschaft der i?,fj sein, wenn 

 diese trotzdem auf einer von F., verschiedenen Fläche F.. liegt; ob nun (3) 

 gilt oder nicht. 



Ist ferner die Ungleichung (2) erfüllt, aber (3) nicht erfüllt, so hat 

 man durch den Schnitt mit den Flächen -F„ auf R'^ eine lineare oo"""'"- 

 Schaar von Gruppen G^^^^ von je v m Punkten, wenn keine F^ durch i?^ 

 ginge; also nach (2) eine höhere als eine co'"""^'-Schaar. D. h.: wenn 

 (2), nicht aber (3), gilt, so geht entweder eine von F^ ver- 

 schiedene i^„ durch i?,^, oder die von den jF^ auf i?,^ ausgeschnit- 

 tenen Funktgruppen bilden eine Specialschaar (§ 1, II). 



Es ist aber wichtig für die Aufsuchung aller auf einer Fläche F^ 

 möglichen Curven i?,^', dafs sich für diesen Fall noch eine weitere Grenze 

 aufstellen läfst. Denn ist 



i'??i>2TF,„, (6) 



so folgt, wenn man 



i; /^ = m 4- m' (7) 



setzt, auch 



v{ij. Qj. — 4) — m'} > 1 0^ — 1) Qj. — 2) (f/ — 3) . . . (8) 



Diese Relation setzt also nothwendig 



m'<M(pi — 4) (9) 



voraus und hiermit auch nach (7) : 



v<M + ^ — 4, (10) 



während die genauere obere Grenze von v aus (6) folgt. i\ufserdem ist 

 hier die untere Grenze für v aus 



vix^m (11) 



zu beachten. 



