der Theorie der algebraischen Raumcurven. 53 



Bei dieser Zurückführung treten zwei Fragen auf: 



1) unter welchen Bedingungen kann man durch i?^;^., eine Fläche 

 von einer Ordnung <" + !, also eine Fläche F^, legen? 



2) unter welchen Bedingungen geht durch den Restschnitt R^ 

 ;=i?,^_„ dieser F^ mit F^ eine -F,_,? 



Die erste Frage ist aber, wenn R^,]+^ irreducibel ist, nichts wei- 

 ter, als die allgemeine Frage dieses §, nur gestellt an der Restcurve 



zu beantworten, wenn 

 d. h. 



— M > ^i(pi — 4) 

 m ^ ix(jj. — 3) 



ist. Ist übei'haupt m'+/^<'»i, so wird die erste Frage für alle i?,^;+^ 

 für erledigt zu gelten haben, nach derselben Voraussetzung, nach welcher 

 auch die zweite Frage für erledigt gilt, nämlich: daXs alle Curven von 

 niedrigerer, als m'" Ordnung, auf F^ bereits behandelt sind. Wenn also 

 ■m > fj.Qji. — 3) und R,f,]+^ ist irreducibel, oder wenn ?n' -}- /i-i < wi , 

 so kann man, nach der Voraussetzung über die i?„^ (m, << ?vi) , die 

 Frage, ob durch R^^ eine von jF'^ verschiedene F^ gehe, als ge- 

 löst betrachten. — 



2. Neben die Restmethode stellt sich noch eine zweite, die- 

 selbe in allen Fällen ergänzende Methode, um zu erkennen, ob durch 

 eine auf einer F^ gelegene Curve i?^ eine von F^ verschiedene Fläche 

 jF, gehe. Diese Methode beruht, wie die Untersuchung des § 6, auf 

 der Betrachtung der Funktgruppen , in welchen ein irreducibler ebe- 

 ner Schnitt /„ von F^ von den durch R^^ gehenden Flächen getrof- 

 fen wird. 



Es möge bereits nach irgend einer Methode, etwa nach der all- 

 gemeinen des vorigen §, nachgewiesen sein, dafs durch die Curve i?,^ 

 noch oo'' Flächen ("H-l)'"' Ordnung, -F.+j, die alle F^ nicht zum Fac- 

 tor haben, gehen. Die Zahl A wird dann eine Function von jj sein, und 

 eine Grenze für A wird zugleich eine solche für p. 



Wenn nun keine dieser Flächen (v-f-l)'" Ordnung F^_^^ vermöge 

 F^^ in die Ebene durch den Schnitt /„ und in eine durch /?,^ ge- 

 hende Fläche F^ zerfällt, erhält man auf /„ durch den Schnitt mit den 



