der Theorie der ahjehraischen Rnumcurven. 55 



und zu den Flächen .F„^_j, F^^,,, ..., weitei' geht, welche überhaupt 

 Curven i?,f,' enthalten können. 



Um nun auf der Fläche niedrigster Ordnung, F^, sänmitliche auf 

 ihr liegende irreducible Curven Äj^ zu erhalten, wird man einen Schnitt 

 i?,^ von F^ mit einer -F^ + i nicht mehr zu behandeln brauchen, wenn nach- 

 gewiesen ist, dafs diese Curve auch schon durch eine Fläche F^ aus F^ 

 ausgeschnitten werden kann. Demgemäfs ergeben die Ungleichungen (2), 

 (3) des § 8 Grenzen für diesen Fall. Und über diese Grenzen hinaus er- 

 giebt sich in vielen Fällen der Nachweis nach § 9. 



Vertauscht man v mit v — 1 , so schreiben sich die Ungleichungen 

 (i). (3), §8: 



i^>0'-i)«i-TF„_^,., (1) 



(,_i)m<2TF,._^, ,, (2) 



und für diese ergeben sich auch, wenn man setzt 



p' = p — ^ (»» — 'ni') (u 



,.-,)).• ■ • ■ (8) 



so dafs p' das Geschlecht einer Restcurve Rjl', von i?,^ für den Schnitt von 

 F^ mit einer F^ vorstellt, die Ungleichungen: 



p' > m' {ß — ;!) — 1 /^ (^. — 1) Qj. _ 2) + ] , . . (!') 

 (. _ 1) . { ,^ (a _ :!) - m'l < K^ - (" - 2) (ß - 3) . (2') 



Ist (!') und (2') erfüllt, so wird nach § 8 die i?„^ schon von einer 

 Fläche jP,,_j aus F^ ausgeschnitten. Ist (!') erfüllt, (2') nicht, giebt es 

 aber weiter eine Fläche F.. durch R','', für welche 



('^ - 1) • { y- (/- - 3) - >n'] < 1 (,.. - 1) (^ - 2) (,. - ■^) . (4) 

 ist, und welche F^ in einer irreduciblen Curve schneidet, so wird nach 

 der Restmethode des § 9 i?,f; ebenfalls durch eine F.._^ ausgeschnitten. 

 Ist (1') erfüllt, aber weder (2'), noch (4), so kann es, wie die erste und 

 zweite Methode des § 9 zeigen, immer noch allgemeine Fälle geben, bei 

 welchen durch R^^ eine F^_^ geht; und ist endlich auch (!') nicht erfüllt, 

 so können immer noch specielle Rl,[ existiren, durch welche eine F^_^, also 

 wegen i' > |U zugleich eine F„, geht. 



Fafst man dies zusammen, so ergiebt sich der Satz: 



