56 Noether: Zur Grundlegung 



Um auf einer irreduciblen Fläche F^ alle irrediiciblen 

 Raumcurven 7?,^, von der Ordnung m und dem Geschlecht j;, 

 welche zugleich auf keiner Fläche von niedrigerer Ordnung als 

 der |w""' liegen, zu erhalten, nehme man die Zahlen v aus der 

 Reihe der Zahlen /^, \j.-\-\, /-oH-2, ..., und zwar zunächst so 

 grofs, dafs die zugehörigen in' aus 



m' := fx V — VI 



nicht negativ werden. Die oberste Grenze von v, welche man 

 nicht zu überschreiten braucht, ergiebt sich daraus, dafs man v 

 kleiner wählen kann, als die kleinste Zahl %, für welche die 

 beiden Ungleichungen zugleich existiren 



"^^.„-i , , — (% — 1) »i + j) > , 

 ^W^^_,^^— (v^ — l) m > . 

 Sei ferner 



p' ^= p — i (™ — "i) (^-^ + " — 4) . 

 Wird dann 



a) i)' < m' Qx — 3) — ^ IX (ß _ i) (a — 2) + 1 , 



so nehme man auf F^^ alle Curvenarten R^^',, von der Ordnung 

 m', Geschlecht p', durch welche noch eine F„ gehen kann, und 

 lege die Flächen F^, durch die i?,^|, um Restcurven i?,^ zu er- 

 halten. Die so bei verschiedenen v (und m') erhaltenen Curven 

 -ß,^ werden im Allgemeinen von einander verschieden, und F^ 

 die niedrigste Fläche sein, welche durch i?f geht, ohne F^ selbst 

 zum Factor zu haben; specielle Curven i?,fj können jedoch auf 

 diese Weise auch mehrfach erhalten werden, indem zugleich 

 eine von jF,, verschiedene F.^_^, wo i positiv, durch R^^ gehen 

 könnte. 



Wird aber 



b) p'> m' Qx — 3) — J IX (u _ 1) (,a — 2) + 1 , 



so nehme man auf F^ alle Curvenarten i?,f|, durch welche eine 

 Fläche F.^ geht, für die 



(, _l) . {,^ (^ _ 3) _ m' } > 1 (^ — 1) (m — 2) (ß — .3) , 

 (also jedenfalls, von !x = s, m' = abgesehen, m'<<iu(/^ — 3) ist), durch 



