58 Noethek: Zur Grundlegung 



§11. 

 Über die Constantenzahl der Raumcurven. — Ein neues 



Element. 



In § 2 wurde nachgewiesen, dafs für die allgemeinsten Raumcur- 

 ven i?,^, deren Geschlecht p < ^(^^^ — 3) ist, die Constantenzahl genau 

 4m beträgt, während für p^^(in — 3) die Zahl 4m nur eine untere 

 Grenze bildet. 



Berücksichtigt man nun nach den vorhergehenden Paragraphen die 

 möglichen Lagen der Curven R^ auf Flächen F^, so kann man auch für 

 viele specielle Arten von Raumcurven, die einen Theil der allgemeinsten 

 bilden, und auch für Fälle von allgemeinen Raumcurven, deren Geschlecht 

 die angegebene Grenze ^(m — -3) überschreitet, zu genauen Bestimmun- 

 gen der Constantenzahl kommen, in jedem Falle aber zu einer unteren 

 Grenze für die Constantenzahl, die viel höher werden kann als die oben 

 bezeichnete untere Grenze 4?n. 



Wir führen zunächst ein neues Element in die Theorie ein. Wenn 

 es auch möglich ist, eine irreducible Fläche F^ durch eine gegebene 

 Curve R^ zu legen, so werden doch umgekehrt auf einer gegebenen 

 Fläche -F,, im Allgemeinen keine solche Curven R^ liegen, da eine Fläche 

 F^ für !«.;>■ 3 im Allgemeinen übei'haupt keine Curven enthält, die nicht 

 vollständige Schnitte mit Flächen F„ wären. Die Zahl der Bedin- 

 gungen, welchen eine allgemeine Fläche F^ unterworfen ist, 

 um überhaupt eine Raumcurve der Art R^^ enthalten zu kön- 

 nen, sei mit a.^ bezeichnet. 



Es giebt dann also oo'^"""'^ Flächen |u'" Ordnung, welche Raum- 

 curven der Art R^ enthalten (wo N^ die am Anfang des § 7 gegebene 

 Bedeutung A^^ = i (y. _i- 1) (|U H- 2) (u + 3) — l hat). 



War die Raumcurve R^^ nur den Bedingungen unterworfen, der 

 (theilweise oder vollständige) Schnitt von Flächen F^ mit Flächen F, 

 zu sein, so werde die Zahl der Bedingungen, welchen eine Fläche F^ 

 genügen mufs, um eine Curve R^^ dieser Art überhaupt enthalten zu 

 können, mit a„ „, ebenso die Zahl für F„ mit a„ „ bezeichnet. Es giebt 



