der Theorie der algebraischen Raumcurven. 61 



allen Fällen, in welchen man die auf der rechten Seite von (4) vorkom- 

 menden Ausdrücke, unter Benutzung von (1) und (T), direct bestimmen 

 kann, ist die Bestimmung von u auf die von «' zurückgebracht; ähnlich 

 wird die von «^ „ von der von «^ „ abhängen. Das allgemeine und we- 

 sentliche Problem zur Bestimmung der Zahl u ist aber nach (2) die 

 unabhängige Bestimmung der Zahl a^^. 



§12. 

 Fortsetzung. Eine neue Ungleichung. 



Die Zahl der Bedingungen, welchen eine Fläche F unterworfen 

 werden mufs, um durch eine vollständige Schnittcurve einer Fläche v'" 

 Ordnung mit F„ hindurchzugehen, ist W^^. Legt man aber F^ durch 

 eine vollständige Schnittcurve (i?,^, i?^',), so hat man zunächst A^ Bedin- 

 gungen, damit F^ die Curve i?^ enthalte; sodann, da R^ und i?^i noch 

 5„ „ Punkte gemein haben und diese s„^ Punkte als Schnittpunkte von 

 F mit i?*! weniger als s„ „ von einander unabhängige Bedingungen dar- 

 stellen könnten, noch wenigstens A'^ — s^^ Bedingungen, damit F auch 

 noch Rf^', enthalte. Man hat also: 



W^,^ = A^ + a; — s' , (6) 



wo 



^'^V. (6') 



sein mufs. Es ist nun möglich zu zeigen, dafs diese Zahl s' im Allge- 

 meinen in der That <; 5^ „ wird und eine noch genauere Grenze für 

 ihren Werth zu finden, wie die folgende Betrachtung, in Verbindung mit 

 der Betrachtung am x\nfang des nächsten §, Formel (12), lelu-t: 



Damit eine vollständige Schnittcurve zweier Flächen der 

 .u'^" und v'^° Ordnung s^„ wirkliche Doppelpunkte erhalte und 

 in zwei Curven mit ä„ , Schnittpunkten zerfalle, werden t„^ Be- 

 dingungen nöthig sein, wo c-^^ höchstens gleich 5„^ ist^). 



^) Vgl. über diesen Satz die betreffenden Bemerkungen in § 13, 2, die denselben 

 für die aligemeinsten Raumcurven R^ von gegebenen m und p beweisen, und zwar für 

 beliebig hohe Zahlen j.«,!'; woraus sich die in diesem § gegebene Begrenzung des Satzes 

 verificirt. 



