der Theorie der algebraischen Raumcurven. G3 



Schnittpunkten zerfallen soll. Diese Thatsache ist an die Voraussetzung ge- 

 knüpft, dafs man die Gesammtheit der Curven (Ä^, i?,^|) sucht, welche 

 keiner weiteren Bedingung genügen, als der, der Schnitt von zwei 

 Flächen |w'" und v^" Ordnung zu sein. Sobald man nur speciellere dieser 

 Curven sucht, z.B. solche Curven i?*, durch welche zugleich eine gröfsere 

 Schaar von Flächen //'" Ordnung geht, als durch die allgemeinste Curve 

 i?,^ auf (i^„, F^), wird die Bedingungszahl > a\ ^ werden können. Daher 

 werden die Gleichungen (9) z. B. dann Gültigkeit haben, wenn wir fest- 

 setzen, dafs jF„ und F^ die beiden Flächen niedrigster Ordnung sind, 

 welche R^^ ausschneiden, und dafs die Rf^^ keiner weiteren Bedingung 

 unterliegen. Überhaupt kann man sagen, dafs der Werth u für die 

 Mannigfaltigkeit der i?,f^ im Räume gilt: 



1) für die allgemeinste Schaar der R^; wobei dann /a, v beliebig 

 hoch angenommen werden können; 



2) für die allgemeinsten auf irreduciblen Flächen F,, liegenden 

 Curven i?,"; wobei dann v beliebig hoch angenommen werden 

 kann ; 



3) für die allgemeinsten auf einer irreduciblen Fläche F,, und 

 zugleich einer von F^ verschiedenen Fläche F^ liegenden Cur- 

 ven i?,^. 



Aber wenn in den Fällen 1) und 2) für jU oder v auch noch eine 

 Willkürlichkeit bleibt, so wird man doch aus (9) im Allgemeinen die ge- 

 nauesten Zahlen finden, d. h. cr„ ^, wird am nächsten an s^ ^ liegen, wenn 

 man in 2) v und in 1) \x und v möglichst niedrig nimmt. Wenn man 

 nämlich in 1) und 2) |W fest, aber v beweglich annimmt, so wird bei ge- 

 gebenen Curven Ä,f^ die Gröfse u — A^ constant sein für alle v, also 

 auch nach (9) A^ — t^ „ von v unabhängig. Für genügend grofse v wird 

 aber auch A^ — s^ , constant; denn es ist dann nach § 7: 

 A^ ^ V m -h 1 — p ^ 



und 



s^ „ = m (,a -f- 1/ — 4) — (2 jj — 2) , 



also 



K — *V,.^2> — (f^ — 4)??i — 1 , 



unabhängig von v. Also wird im Fall 1) und 2) für genügend 

 grofse V auch 5^ „ — tr^^ unabhängig von c. Nimmt man nun v klei- 



