der Theorie der algebraischen Raumcurven. 65 



schnitten werden, eine endliche Zahl von linearen Schaaren, 

 alle von gleicher Mannigfaltigkeit, bilden. 



Derselbe Satz gilt auch für die Flächen zweiter Ordnung, 

 nach der bekannten Geometrie dieser Flächen. 



Hiernach erhält man in unseren Fällen, wo es sich um die allge- 

 meinsten Curven i?,^ handelt, welche aus einer irreduciblen Fläche F^ 

 von Flächen F^ ausgeschnitten werden können und wo F^ keiner weite- 

 ren Bedingung genügt, als denen der Existenz solcher Curven, noch wei- 

 tere Beziehungen zwischen den Zahlen A und t des § 11. 



Denn man mufs auf F,, schon die ganze auf ihr liegende Schaar 

 der R^ erhalten, wenn man nur durch eine i?^| alle Flächen F, legt, 

 wenn ju>»3; für iu = 2 und 3 wird man so schon eine aus der endlichen 

 Zahl von Schaaren erhalten. Immer gilt also die Relation 



?^ = Tr,,,— a;, (10) 



und ebenso: 



tl :=TF„,„— A^, (10') 



War auch F^ irreducibel, so folgt ebenso und nach (9) 



a^_,, = Tr„,„ — A„ — a: H-!r„_„, I • 

 a,_„ = W^^, — A,, — A,l H- (r„_, . f 



Hiernach und nach (7') geht auch (6) des § 12 über in 



(11) 



(12) 



so dafs, wie zu (6), § 12 bemerkt, jedenfalls für /^^S, wo «,,,„ im All- 

 gemeinen, wenn nämlich Rjl keine vollständige Schnittcurve ist, gröfser 

 als wird, s' kleiner als s,,^, wird. — 



2. Die drei Fälle des § 12. Wir untersuchen jetzt die drei 

 im vorigen § genannten Fälle etwas näher. Im ersten Fall, für die 

 Gesammtheit der allgemeinsten Curven Ä,^, nehme man zunächst y. und 

 V genügend hoch an, so dafs die Gleichungen gelten (§ 7): 



Math. Abh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1882. I. 9 



