66 Noether: Zur Grundlegung 



A,^ = f/m + 1 — p , 

 A,^ = vm + 1 — j) ; 



s^,.= m(jx + V — 4) — (22J — 2) 



da nun 

 ist, so folgt 



A,H-Ä, — 5,,„-=4m, (13) 



also auch, -wenn nach (9) § 12 (r^,„ < 5^,, gesetzt wird: 



iLz^k^-{-A^ — c^^,,>47?^, (13') 



wie auch in § 2 gefunden war. Umgekehrt ergiebt sich aus dem Resul- 

 tat des § 2 und aus (13), dafs die Zahl cr^,, in m = A^ + A„ — (r^_„ 

 jedenfalls < 5^,„ werden mufs, d. h. für genügend grofse ju und v die 

 Richtigkeit des in § 12 zu Grunde gelegten Satzes: dafs es 

 höchstens 5^_„ Bedingungen erfordere, wenn eine vollständige Schnitt- 

 curve zweier Flächen /^'" und v'" Ordnung in zwei Curven Ä^, i?,f,,' mit 

 Si^^„ Schnittpunkten zerfallen soll. Wenn also für Flächen F,,, F, von 

 hohen Ordnungen ij-,v die Berührung in 5,^_„ Punkten schon die genü- 

 gende Bedingung für das Zerfallen vorstellt , wird dies für Flächen 

 F,^, F„ von niedrigeren Oi-dnungen um so mehr stattfinden müssen, und 

 der zu Grunde gelegte Satz bleibt auch dann richtig. 



Für gewisse p kann man nach § 2 noch weiter gehen. Da näm- 

 lich dort bewiesen werden ist, dafs für p^^(rn — 3) die Mannigfaltig- 

 keit u der R^ genau 4m beträgt, mufs nach (13), (13') alsdann auch 

 o-^, = 5,^,, sein, sobald (13) gilt, d.h. für genügend grofse f^ und v. Nun 

 wird aber für die allgemeinste Curve Rf^ nur 



A„^fxm-4-l — p, 

 A, ^ 1/ 7?i -f- 1 — p , 



und so folgt aus (13') und aus z«=4?7i, o"^,,, < 5^,o dafs für alle 

 Fi,,F,, welche eine allgemeinste Curve R^^, für die p<.^{in — 3) 

 ist, enthalten können, genau 



A^ = /^m + 1 — p 



A„:=i'mH-l — p [ (14) 



werden. 



