der Theorie der cdgehraischen Raumcurven. 75 



Aus dem Werth für ic folgt, dafs für p < 2 (in — 4), wobei m << 4 m 

 wird, die Curven i?,^ auf F^ jedenfalls keine vollständige Flächenfamilie 

 bilden können, sondern nur eine besondere Species. 



Wir wollen jetzt noch zeigen, dafs der obige für das Zerfallen 

 einer vollständigen Schnittearve auf F^ ausgesprochene Satz noch allge- 

 mein auf F^ gilt. 



Man lege durch eine auf F^ gelegene Curve Rl,[ eine Fläche F^, 

 von einer beliebigen Ordnung v. Die Restcurve sei wieder i?,^^|, aber 

 verschieden von der obigen in Erzeugende zerfallenden. Auch hier ist 

 nach dem Obigen für ?n>4: 



«2 = , « = 2>n H-jJ H- 8 , s,.. =r m(y — 2) — (2^:» — 2) ; 



A,^ =: 9 , A,, = vm -{-1 — j) , 

 also 



A„ + A^, — A ,, = 2?». -{- j) -\- H = 11 , 



daher nach (9), § 12: 



0-,,,. = s,^.. , 



und ähnlich für m ^ 4. D. h. man hat für i^, denselben Satz, der in 

 § 13, 4. für die Ebene bewiesen wurde: 



Damit eine vollständige Schnittcurve (F.-,,F,) in zw^ei Cur- 

 ven mit 5, „ Schnittpunkten zerfalle, sind genau s„ . Bedingun- 

 gen erforderlich. 



2. Die Curven auf den Flächen F^. Für lu = 3 wird: 



m-lrm'^=oV ; j) — jy=|-(7H — m')(v — i) ; s._^. = m(v — l) — -SQj — l) 

 =^m'(v — i) — 2(;)' — l) . 



Nach § 10, a) hat man zunächst die Curven /?,;,'' zu nehmen, für welche 



P' ^ 

 ist: d. h. alle, zu einander nicht corresidualen , rationalen Curven auf 

 F^ ohne wirkliche Doppelpunkte, und aufserdem alle einander nicht cor- 

 residualen Curven /?„,, mit mehr als ^(m' — 1)0«' — 2) scheinbaren Doppel- 

 punkten, die also alle zerfallen werden. Ferner sind nach b) § 10 noch 

 die Curven i?,f',' zu legen, für welche 



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