76 Noether: Zur Grundlecjung 



■p' > , — (v — l)?n' > , 

 (3. h. m' = o, was nur die vollständigen Schnitte von F^ mit Flächen F„ 

 liefert. So folgt: 



Aufser den vollständigen Schnittcurven liegen auf einer all- 

 gemeinen i^'g nurCurven, für die Restcurven i?„^, mit -^(m' — l)(m' — 2) 

 oder mehr scheinbaren Doppelpunkten existiren. 



Einzelne specielle Werthe ausgenommen , liegen auf einer allgemei- 

 nen Fläche F^ Curven von jeder beliebigen Ordnung m und jedem Ge- 

 schlecht p, vs^elches das Maximum des § 6 nicht überschreitet, wie die 

 bekannte Geometrie der Flächen F^ lehrt. Insbesondere existiren die zer- 

 fallenden Raumcurven mit den höchsten Zahlen der scheinbaren Doppel- 

 punkte bei gröfseren m nicht. 



Für einen solchen Schnitt von F^ mit der Fläche F, von niedrig- 

 ster Ordmmg, die durch die allgemeinste i2| auf F^ zu legen ist, wobei 

 also p' < wird, hat man in §§11 — 13 zu setzen, wenn m und m' so 

 grofs sind, dafs durch i?^ und durch i?^,', nur eine Fläche F^ geht: 

 A3 = A3 = 19 , A^=:vm'+1 — f' , 



Ag + A,; — 53,„ ^ m'+j/H-lS . 

 Nun ist 



TF",,3 = |v(v-l-l) , A„ = vm-M— jj, 

 also 



C = "^.,3 — A„ = m'H-_p' — 1 . 



Da ferner alle Flächen dritter Ordnung, mit Ausnahme derjenigen 

 mit vielfachen Punkten, dieselbe Geometrie besitzen, also nicht einem 

 Theil derselben besondere, «3, Bedingungen auferlegt werden können, um 

 Curven zu enthalten, die nicht auf allen anderen F^ liegen, so mufs sein: 



«3 = «3,. = 5 

 also nach § 11, (3): 



u' = ^3 H- A3 — ß3_„ = m'H-/-|- 18 = A3 + A^ — 53^„ . 



Nach § 12, (9) wird daher auch hier 



o"3,. = *3,v ; 



und 



- M = A3 H- A„ — ö-3_„ = m -{-p-\-\% . 



«,3 = m(v — 1) — 2|) — 17 . 



