78 Noether: Zur Grundlegung 



3. Die Curven auf den Flächen F^. Man bat 

 iw = 4 ; m + m'=4v ; p — p' ^ l(m — 9n.')v ; ^^ „ = ??iv — 2(2; — l) 

 = m'v — 2Q)' — 1) . 



Die Relation a), § 10 wird 



j/ < m' — 3 

 und man hat für Rf,', alle, nicht 7ai einander corresidualen, Curven dieser 

 Art, p' < m' — 3, auf i^^ anzunehmen. Ferner wird b), § 10 zu 



jy>m'— 3 , (v — l)(4 — m')>'2 , 

 so dafs nur noch die Fälle 



1 . m' =3 , p' = 1 , V ^ 3 , 



2. m'= 2 , _p'= , V > 2 , 



3. ?7V= 2 , p'= , f ^ 2 , 



4. m' = , 1/ > 2 



übrig bleiben, und aufserdem die Schnitte von F^ mit den F^, den Ebe- 

 nen. Die aus den Fällen 1 — 4 zu erhaltenden Curven i?,f^ sind aber nur 

 die früher behandelten Curven vom Maximalgeschlecht (§ 6): 



Aufser den Curven vom Maximalgeschlecht liegen auf F^ 

 nur Curven, für die Restcurven R^J^, auf F^ existiren, deren 

 |y ^ m' — 3 ist. 



Nimmt man nun in §§11 — 13 m',j)' fest an, p' < ??i' — 3, und v 

 genügend grofs, so folgt, wenn nur eine F^ durch R% geht, jedenfalls: 

 A'^ = 34 , A' = vm'4- 1 — |)' , 



a; + A^ — 5,,„ = y + 33 , 

 also 



u! = a; + a: — (7,,„ > p'+ 33 . 



Aber es ist 



A„ = vm -j-l — p , 



wenn R^^, irreducibel, also p' > ist, nach dem vorletzten Satze des § 7. 

 In diesem Falle ist also ((11), § 13): 



«4,. ^4,» = ^.,4 — -^. K 



= (2 r H- 1) — (ym -|- 1 — p) — (vm' +1 — p') 

 = 2p' — 1 — vm' = — ^4 „ + 1 . 



