der Theorie der algebraischen Ravmcurven. 79 



Da aber, von den vollständigen Schnittcurven abgesehen, nothwendig 

 «4,,. ^ 1, c, „ < s^,,, so giebt die letzte Gleichung 



also 



n' = ;)' H- 33 , 



u = A^ + A„ — 0-^ „ =: j)-{- 33 . 



Diese Formeln gelten also, wenn durch i?,^ sowohl, als durch 

 i?,^| nur eine Fläche F^ geht und wenn 7^,^', wo jV < ?n' — 3, irredu- 

 cibel ist. Hierbei ist in den Ausdrücken von u und u' die Unabhängig- 

 keit von den Zahlen m und m' bemerkenswerth: die auf F, liegenden 

 Curven Ä,^ sind offenbar nur sehr specielle Fälle von Curven 7?^J|, wenn 

 nicht jj genügend grofs ist. 



Legt man durch eine der hier angegebenen Curven i?,^, für welche 

 M=j9H-33 ist, eine Fläche F. von höherer, als der kleinstmöglichen 

 Ordnung, so bleibt doch immer 



A, ^= V ?n -1- 1 — p , 

 also folgt, wegen ?t = A^H-A, — o-^ „, auch dann 



<^4,. = 54,. , 



und der für |U = i, ij.^2, |U = 3 ausgesprochene Satz gilt bei den be- 

 trachteten Curven Rf^ auch für jj. = 4. 



Für die Flächen jF^ stellt es im Allgemeinen eine einzige Bedin- 

 gung dar, wenn sie Curven irgend einer Art R^ enthalten sollen. 



Die einfachen Modificationen, welche für solche R^ oder R^'^', in 

 A^, u, u' etc. eintreten, die auf mehr als einer Fläche F^ liegen, also 

 für niedrige m oder m', behandeln wir hier nicht weiter, weil dieselben 

 doch bei den folgenden Entwicklungen über die einzelnen Curven i?^ zur 

 Darstellung zu gelangen haben. 



4. Die Curven auf den Flächen F,. Man hat 

 // = 5 ; 7n-i-m' = bv ; p — p' :^ -1 (m — m') (v + l) ; 

 5^^ = m(v-i-l) — 2(p — 1) = m'(vH-i) — 2(p' — 1) . 

 Die Relation a) § 10 wird 



p' <2m' — 9 ; 



