110 Noether: Zur Grundlegung 



8. Cui'ven IT'"'' Ordnung: i?„. 



Für jj = : [8,8]; 



für 2^ = 1 : [7,8]; für j;» = 2 , 3 , . . . , 19 : [7,7]; 



für p ^= 20: [G , 7]; für ;j = 21, 22 , ... , 30: [6 , 6]; 



für j; = 31 : [5,6]; für p = 32 , 33 , . . . , 35 : [5,5]. 

 Bei den F^, |U = 4, ist die Relation § 7, (3), auf welcher die vor- 

 stehenden Zahlen beruhen, nicht mehr erfüllt, wohl aber (6), § 7; daher 

 liegt i?f, für j9 > 35 auf einer F^. Dasselbe folgt auch schon aus § 6 ; 

 denn ^ = 36 ist das Maximum auf F^, und dann geht nach § 6 durch 

 i?j^ nothwendig eine Fläche F^. Zugleich folgt hieraus, dafs die Ourve 

 für ^ > 36 auf einer F^ liegt. Also: 



für p = 36: [4,5]; 



für jJ >■ 36 auf F^, für ^ >■ 40 auf F^; Maximum p = 56. 

 Wir wollen in diesem Falle aufser den Mannigfaltigkeiten u auch 

 die Bedingungszahl a,^ für die Flächen niedrigster Ordnung fj., auf welchen 

 die allgemeinen angegebenen Curven liegen sollen, bezeichnen. 



Nach § 2 ist für p ^ , 1 , ... , 18: ?( = 68. Hieraus ergeben die 

 §§ 11 — 13, dafs alsdann immer cr,^^ = 5„ „ wird; und für: 



p = : «g = 69 ; p = 1 , 2 , . . . , 18 : a, = 52 — p. 



Von j) = 31 an bis j9 = 35 folgt aus der Restcurve, dafs eben- 

 falls cr^ „ =5^^^; tt =; 68; und zwar: 



für 2^ = 31 , . . . , 35 : a^ = i. 



Wenn z. B. |; = 35, so ist die Restcurve [5 , 5] eine i?g. Ist diese 

 irreducibel, so hat man für dieselbe it' = 32 und eine oo^-Schaar von Bl 

 auf F^; denn die Bl wird auch durch [5,2] erzeugt (vgl. unter B^), mit 

 dem Rest B~^; zugleich ergiebt sich für die B^^, also auch für die Bl 

 oder unsere Bf^: a^ = 4. Hieraus folgt weiter: rs = 51 + 21 — 4 = 68, 

 und cTj 5 = 5; 5 = 34. 



Es kann auch die Restcurve Bl reducibel werden und in eine 

 ebene Bl, verbunden mit einer B^, zerfallen. Man hat dann bei u, a^, 

 Css genau dieselben Zahlen wie vorher; dagegen eine von der vorher- 

 gehenden getrennte Familie von i^j,, welche auch durch den Schnitt [4 , 5] 



