112 Noether: Zur Grundlegung 



R^g gehen ; auch l'ür jp = 49 müfsten schon die 5 Punkte einer Gruppe 

 auf einer Geraden liegen, d. h. jede Ebene müfste die Rf^ in 20 Punk- 

 ten treffen, die auf einer Curve 4'" Ordnung liegen, und es müfste eine 

 F^ durch i?2o gehen. — In der That wird auch die Restcurve aus [5 , ö] 

 eine R^'^^; und während für jj = 48 noch eine zerfallende Rl existirt, 

 giebt es keine Rt,Rl auf F^, so dafs für ^==49, 50 die F^ zerfallen 

 mufs. Für p = bl hat man nach § 6, wenn R^ auf einer J^^ liegt: [4,5]. 



2. i?22- Nach § 7 gehen durch R^ noch oo^ Flächen 6'" Ord- 

 nung und treffen einen ebenen Schnitt /^ in oo'^ Gruppen von je 14 Punk- 

 ten, Da nur oo'^ solcher existiren, müssen alle irreduciblen Curven i?", 

 und ebenso die i?^^ für |) >> 57, auf Flächen 5'" oder niedrigerer Ordnung 

 liegen. Dasselbe folgt direct aus § 7, (6) und (7). 



3. i?2g. Durch eine irreducible R^'^ gehen für 99 >p ^ 78 noch 

 oo''''" Flächen F^ (für p > 99 noch wenigstens oo^°). Ein ebener Schnitt 

 /^ würde von denselben in oo''"" Gruppen von je 21 Punkten getroffen; 



aber von diesen existii*en höchstens oo^. Daher müssen für 99>J9^89 

 wenigstens oo^~*^, für ^ ^ 99 wenigstens oo^ Flächen F^ durch R^^ gehen. 

 So liegt also R^ auf [6,7]; R^ auf [6,6]. Aber die Restcurve aus [6,6] 

 wird für J3 = 90 zu einer Rf; und von solchen Curven Rf können auf 

 irreducibler F^ keine anderen existiren, als eine ebene R^, in Verbindung 

 mit zwei dieselbe treffenden Geraden. Aus dieser ebenen R^ folgt also, 

 dafs die Curve R^, wenn sie auf einer irreduciblen F^ hegt, auch durch 

 den Schnitt [6,5] erhalten werden kann, d. h. auch schon auf irredu- 

 cibler F^ liegt. Ebenso, oder nach §6, folgt, dafs RH aus [5,6] ent- 

 steht; und derselbe § 6 giebt dann weiter, dafs alle irreduciblen R^^ mit 

 23 > 91 auf Flächen 4*" oder niedrigerer Ordnung liegen müssen. 



Diese und weitere Resultate würden auch aus der Restmethode 

 des § 9 allein sich ableiten lassen; aber dabei würden immer Untersuchun- 

 gen über die verschiedenen irreduciblen und reduciblen Arten, die 

 eine Restcurve abgeben können, nothwendig werden. Die Methode des 

 ebenen Schnittes macht solche Untersuchungen nicht erforderlich, erst die 

 Verbindung beider Methoden, wie sie in einem einfachen Fall, der RH-, 

 eben angewandt wurde. 



