114 Noether:^!//- Grundlegung • 



Da die Durchführung dieser Fälle für die höheren Werthe des 

 Geschlechts p, insbesondere unter Beachtung der Resultate des § 6, kei- 

 nerlei Schwierigkeit mehr bietet, sollen dieselben nicht weiter verfolgt 

 werden. 



§20. 

 Anwendung auf die Geometrie specielier Flächen. 



Wir haben die Theorie der Raumcui'ven im IL Abschnitt aus den 

 möglichst allgemeinen Flächen abgeleitet, d. h. aus den Flächen, welche 

 überhaupt keine weiteren Eigenschaften besitzen sollten, als Raumcurven 

 der betrachteten Art zu enthalten; also auch diese Flächen ohne viel- 

 fache Curven etc. vorausgesetzt. Diese allgemeine Theorie findet nun um- 

 gekehrt ihre wichtigste Anwendung in der Entwicklung der Geometrie 

 auf speciellen Flächen. Hierzu ist nur eine Erweiterung der Betrach- 

 tung nöthig, durch welche in § 11 die Zahl a„^ eingeführt worden ist. 



Nach § 11 stimmt die Zahl der Bedingungen, welche man einer 

 Curve einer Art auflegen kann, damit sie auf einer gegebenen Fläche 

 liege, im Allgemeinen nicht überein mit der Zahl der Bedingungen, 

 welche der Fläche aufzulegen sind, um durch eine gegebene Curve der 

 betrachteten Art hindurchzugehen. So hat man schon bei einer Fläche 

 4'" Ordnung, i^^, und einer ebenen Curve 3'" Ordnung, A3, 12 Con- 

 stanten für die R\, von denen nur 11 zur Verfügung stehen, wenn F^ 

 gegeben ist und R\ auf F^ liegen soll; so stehen ebenso bei F^ und R\ 

 nur 15 von den 16 Constanten der B\ zur Verfügung; etc. Die Rela- 

 tion, welche diese Verhältnisse bestimmt, ist (2), § 11. Durch die für 

 die F^ hinzutretenden a^^ Bedingungen waren die in §§ 11 — 13 behan- 

 delten speciellen Flächen charakterisirt, und durch die Curve R^ ist dann 

 ihre Geometrie als gegeben zu betrachten. 



Dieselbe Relation (2), § 11, oder 



U = k-{-t — a 

 ist ihrer Ableitung nach auch noch anwendbar, wenn man irgend eine 

 beliebig gewählte Curvenspecies P^ und eine beliebig specielle Flächen- 



