der Theorie der algebraischen Raumcurven. 115 



familie 4> betrachtet; unter ii die Mannigfaltigkeit der Species P,^, unter 

 A die Zahl der Bedingungen versteht, welcher eine Fläche aus den * 

 unterworfen werden mufs, um durch eine gegebene Curve aus den V^'^ 

 zu gehen; wenn ferner a die Zahl der Bedingungen bezeichnet, welchen 

 eine Fläche aus den *, aufser der Bedingung, zu der * zugehören, noch 

 weiter genügen mufs, wenn sie überhaupt irgend eine, nicht gegebene, 

 Curve aus der Species der P^^; enthalten soll: endlich t die Mannigfaltig- 

 keit der Curven P,^, die dann noch auf einer solchen speciellen * lie- 

 gen. — Eine solche Fläche ist durch die Bedingung, zur Familie der 4> 

 zu gehören und eine Curve P,^ zu besitzen, chai-akterisirt, und ihre Geo- 

 metrie alsdann als bekannt zu betrachten. 



Kennt man nun aus den früheren Untersuchungen über 

 die Raumcurven die Zahl u für die P,f;, und kann man ferner 

 die Zahl A der Bedingungen für die Flächen * bestimmen, so 

 liefert die Geometrie der speciellen Fläche * die Zahl t, also 

 auch die Zahl «; und damit die Entscheidung über die Frage, welche 

 in diesen Flächenproblemen die schwierigste und zugleich die Hauptfrage 

 ist: ob etwa jede Fläche der Familie * Curven der Art P,^ be- 

 sitzt oder nicht. 



Für die Familie derjenigen Flächen, welche eine lineare oo^-Schaar 

 von rationalen Curven enthalten, ist ein analoger Weg, unter Benutzung 

 von Curven P,", , schon vor längerer Zeit^) eingeschlagen und das Resultat 

 erhalten worden, dafs sich diese Flächen eindeutig auf die Ebene abbil- 

 den lassen. Unsere Untersuchungen über die Raumcurven erlauben die- 

 ses Gebiet viel weiter auszudehnen, wie hier nur an einem Beispiel in 

 Kürze gezeigt werden soll. 



Wir untersuchen die Flächen 6'" Ordnung, welche eine 

 Raumcurve 4'" Ordnung, vom Geschlecht 1, als Doppelcurve 

 und eine dieselbe nicht schneidende Doppelgerade besitzen: 

 *g mit (ÄJ)^, (Ä,)-. Die Gleichung einer solchen Fläche *g wird sein: 



(a^A'-s^a^AB-^a,E')<p'-^{\A'-\-h^AB^h^B')<p-l 



-\-{c,A^c^AB + c,B')4^- = Q, .... (1) 



1) Noether, „Über Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen.'" Math. 

 Ann. III, 1870. 



15* 



