116 Noether: Zur Grimdlegunci 



wo .4, B lineare, (f, -v^ quadratische Functionen der Coordinaten, o, 6, c 

 Constanten bedeuten. Sowohl der Ebenenbüschel durch die Doppelgerade 



A — XB = Q, (2) 



als der Büschel von Flächen 2*" Ordnung, welche durch R\ gehen: 



<P — f^-^' = , . . . . . . . (3) 



schneiden die Fläche je in Curven 4'" Ordnung, welche alle in je zwei 

 Kegelschnitte zerfallen; und diese Kegelschnitte der Fläche bilden eine 

 einzige, nicht-lineare oo^-Schaar. Ein einzelner Kegelschnitt wird durch 

 (2), (3) bestimmt, wenn man ein Werthsystem A , ix derart nimmt, dafs 

 die Gleichung 



(a/^H-ajA4-a,)fx2 + (6/= + 6jA + ö,)M + (c/' + c,A + C2) = (4) 



befriedigt ist. 



Aus dieser Beziehung (4) folgt, dafs eine Curve, deren Punkte 

 den Kegelschnitten der Schaar eindeutig zugeordnet werden können, das 

 Geschlecht 1 haben mufs. Wir suchen eine solche Curve, welche auf ^^ 

 liegt und jeden Kegelschnitt der Schaar nur in einem Punkte trifft. 

 Existirt eine solche auf jeder unserer Flächen *g, so kann man unter 

 ihrer Benutzung ohne Einführen einer neuen Irrationalität die Coordina- 

 ten der Fläche <b^ rational durch einen Parameter ^, welcher die Punkte. 

 des Kegelschnitts bestimmt, und durch A , |U ausdrücken, während die 

 Gleichung (4) besteht: d. h. man kann dann die Fläche $,, eindeu- 

 tig, und eindeutig umkehrbar, auf einen Kegel 4'" Ordnung 

 mit 2 Doppelgeraden, also auch auf einen Kegel 3'" Ordnung, 

 abbilden. 



Wir werden zeigen, dafs auf jeder unserer Flächen f ^ solche Cur- 

 ven, und zwar Curven R\, R\ etc., existiren. Der Beweis soll für die 

 Curven i?^ (§ 16, 5. a^) geführt werden. Von diesen Curven giebt es im 

 Räume oo" = oo^". 



Um die Zahl A zu bestimmen, bemerken wir, dafs bei einer Fläche 

 *5 zehn der Kegelschnitte in Geradenpaare zerfallen. Wir nehmen aus 

 diesen 10 Paaren acht Gerade «j, a^, ..., a^ heraus, von denen nicht 

 zwei einem Paare angehören. Diese 8 Geraden kann man als willkür- 

 liche Sehnen von R\, die R^ treffen, wählen; denn hierdurch ist nach 



