der Theorie der algebraischen Raumcurven. 117 



(1) immer eine ^^ bestimmt. — Die Raumcurven R\, deren Existenz auf 

 *^ hier nachgewiesen werden soll, seien diejenigen Curven i?', welche 

 R\ in 8, i?j in 3 und jede der 8 Geraden a^ in je einem Punkte treffen. 

 Diese Forderungen stellen 19 Bedingungen dar, und wenn wir nun zeigen 

 können, dafs jede *^, welche in Bezug auf eine gegebene R\ die bezeich- 

 neten Eigenschaften hat, in Folge dessen diese R\ enthalten mufs, so 

 folgt A = 19. 



Man betrachte zu diesem Zweck den Büschel von Flächen F^, 

 welche R\ und R^ doppelt, «j, a^, . . ., «, einfach enthalten; während 

 eine R\ sich in Bezug auf R\^ 7?^, «j, a^, ..., a^ wie angegeben verhält. 

 Dieser Büschel würde, wenn keine der F^ die R\ ganz enthielte, die R\ 

 in einer linearen oo'-Schaar von Gruppen von je einem Punkte treffen. 

 Da dieses wegen des Geschlechts p = 1 von R\ unmöglich ist, mufs 

 wenigstens eine der Flächen F^^ durch die R\ gehen; und dies mufs die 

 durch rtj gehende sein, da bei der Willkürlichkeit von a^ diese Fläche sonst 

 R\ in einem willkürlichen Punkte treffen würde. — Hiermit ist bewiesen, 

 dafs A = 19 ist. Zugleich sieht man, dafs noch wenigstens oo^ Cur- 

 ven R\ auf einer solchen Fläche *g, welche überhaupt eine derartige 

 Curve enthält, liegen müssen. 



Jetzt bleibt zu untersuchen, wie grofs die letztgenannte Schaar 

 von Curven auf ^^ ist; ob t >> oder = 1 ist. Hierzu ist eine Entwick- 

 lung der Geometrie einer solchen Fläche *,, nöthig, welche aber unter 

 Zugrundelegung einer Curve R\ auf ^^ direct durchführbar ist. Wir füh- 

 ren hier nur das Resultat an, dafs ? = l wird; oder genauer: dafs das 

 obige Problem, bei gegebenen Geraden a^, ... rt^, durch 2 verschiedene 

 nicht- lineare oo^-Schaaren von Curven R\ auf 4>g gelöst wird, Schaaren, 

 deren Cui-ven den Kegelschnitten von ^^ einzeln zugeordnet werden kön- 

 nen; und dafs auf *,. überhaupt V solcher oo'- Schaaren liegen. Irgend 

 eine Curve aus einer solchen Schaar trifft jeden Kegelschnitt von *g in 

 je einem Punkte. 



Aus der obigen Relation folgt hier 



a = A -I- ^ — « = 19 H- 1 — 20 = , 



d. h. jede der Flächen *^ enthält solche Schaaren R\ und ist somit auch 

 auf einen Kegel dritter Ordnung abbildbar. — 



